합성방정식의 실근 개수

실마리: $f ( x ) = t$로 놓으면 $f ( t ) = 0$인 $t$마다 방정식 $f ( x ) = t$의 실근을 세면 된다. [1] $f ( t ) = 0$의 해 $t \geq 2$일 때 $( t - 3 ) ^{2} = 1$에서 $t = 2$ 또는 $t = 4$ $t < 2$일 때 $t + a = 0$에서 $t = - a$이고, 이것이 해가 되려면 $- a < 2$, 즉 $a > - 2$ [2] 방정식 $f ( x ) = t$의 실근의 개수 $x \geq 2$인 부분은 $x = 2$일 때 $0$, $x = 3$일 때 최소 $- 1$이므로 $t \leftarrow 1$이면 $0$개, $t = - 1$이면 $1$개, $- 1 < t \leq 0$이면 $2$개, $t > 0$이면 $1$개 $x < 2$인 부분은 $f ( x ) < a + 2$이므로 $t < a + 2$일 때만 $1$개, 그 밖에는 $0$개 [3] $N ( a )$ 구하기 $f ( x ) = 2$의 실근은 $x \geq 2$에서 $1$개, $x < 2$에서 $a > 0$일 때만 $1$개 $f ( x ) = 4$의 실근은 $x \geq 2$에서 $1$개, $x < 2$에서 $a > 2$일 때만 $1$개 $a > - 2$일 때 $f ( x ) = - a$의 실근은 $x \geq 2$에서 $- a$의 값에 따라 $0$, $1$, $2$개, $x < 2$에서 $- a < a + 2$, 즉 $a > - 1$일 때만 $1$개 $a \leq - 2$이면 $N ( a ) = 1 + 1 = 2$ $- 2 < a \leq - 1$이면 $N ( a ) = 1 + 1 + 1 = 3$ $- 1 < a < 0$이면 $- a > 0$이므로 $N ( a ) = 1 + 1 + ( 1 + 1 ) = 4$ $a = 0$이면 $N ( a ) = 1 + 1 + ( 2 + 1 ) = 5$ $0 < a < 1$이면 $- 1 \leftarrow a < 0$이므로 $N ( a ) = 2 + 1 + ( 2 + 1 ) = 6$ $a = 1$이면 $N ( a ) = 2 + 1 + ( 1 + 1 ) = 5$ $1 < a \leq 2$이면 $- a \leftarrow 1$이므로 $N ( a ) = 2 + 1 + ( 0 + 1 ) = 4$ $a > 2$이면 $N ( a ) = 2 + 2 + ( 0 + 1 ) = 5$ [4] 서로 다른 $t$에 대한 $f ( x ) = t$의 실근은 서로 다르므로 $N ( a )$의 최댓값은 $M = 6$이고, 이때 $0 < a < 1$이다. 따라서 $\alpha = 0$, $\beta = 1$이므로 $M + \alpha + \beta = 6 + 0 + 1 = 7$