미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합성 삼각함수 극값

문제

두 실수 aa, bb에 대하여 xx에 대한 방정식 x2+ax+b=0x ^{2} + ax + b = 0의 두 근을 α\alpha, β\beta라 하자. (α−β)2=343π\displaystyle \left( \alpha - \beta \right) ^{2} = \frac{34}{3} \pi일 때, 함수 f(x)=sin⁡(x2+ax+b)f \left( x \right) = \sin \left( x ^{2} + ax + b \right)가 x=cx = c에서 극값을 갖도록 하는 cc의 값 중에서 열린구간 (α,β)\left( \alpha , \beta \right)에 속하는 모든 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 c1c _{1}, c2c _{2}, ⋯\cdots, cn(nc _{n} \left( n \right.은 자연수)라 하자. (1−n)×∑k=1nf(ck)\displaystyle \left( 1 - n \right) \times \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( c _{k} \right)의 값을 구하시오. (단, α<β\alpha < \beta) [4점]

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15

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해설

g(x)=x2+ax+bg \left( x \right) = x ^{2} + ax + b라 하면 방정식 x2+ax+b=0x ^{2} + ax + b = 0의 두 실근이 α\alpha, β\beta이므로 g(x)=(x−α)(x−β)g \left( x \right) = \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right) (단, α<β\alpha < \beta) 로 놓을 수 있다. g(α+β2)\displaystyle g \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)=−14(α−β)2\displaystyle = - \frac{1}{4} \left( \alpha - \beta \right) ^{2}=−17π6\displaystyle = - \frac{17 \pi}{6} 이차함수 g(x)g \left( x \right)는 꼭짓점의 좌표가 (α+β2,−17π6)\displaystyle \left( \frac{\alpha + \beta}{2} , - \frac{17 \pi}{6} \right)이므로 함수 g(x)g \left( x \right)는 α<x<β\alpha < x < \beta에서 −17π6≤g(x)<0\displaystyle - \frac{17 \pi}{6} \leq g \left( x \right) < 0 ⋯\cdots⋯\cdots ㉠

한편 f(x)=sin⁡(x2+ax+b)f \left( x \right) = \sin \left( x ^{2} + ax + b \right)이므로 f(x)=sin⁡g(x)f \left( x \right) = \sin g \left( x \right) 함수 f(x)f \left( x \right)를 xx에 대하여 미분하면 f′(x)=cos⁡g(x)g′(x)f' \left( x \right) = \cos g \left( x \right) g' \left( x \right) 이므로 g′(x)=0g' \left( x \right) = 0 또는 cos⁡g(x)=0\cos g \left( x \right) = 0일 때 극값을 갖는다. ㉠에서 cos⁡g(x)=0\cos g \left( x \right) = 0일 때

g(x)=−π2\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{\pi}{2} 또는 g(x)=−3π2\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{3 \pi}{2} 또는 g(x)=−5π2\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{5 \pi}{2} g(x)=−π2\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{\pi}{2}일 때의 해는 x=c1x = c _{1}, x=c7x = c _{7} g(x)=−3π2\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{3 \pi}{2}일 때의 해는 x=c2x = c _{2}, x=c6x = c _{6} g(x)=−5π2\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{5 \pi}{2}일 때의 해는 x=c3x = c _{3}, x=c5x = c _{5} 또한 g′(x)=0g' \left( x \right) = 0에서 2x−α−β=02 x - \alpha - \beta = 0, x=α+β2=c4\displaystyle x = \frac{\alpha + \beta}{2} = c _{4} 따라서 n=7n = 7이고 f(c1)=f(c7)=sin⁡(−π2)=−1\displaystyle f \left( c _{1} \right) = f \left( c _{7} \right) = \sin \left( - \frac{\pi}{2} \right) = - 1 f(c2)=f(c6)=sin⁡(−3π2)=1\displaystyle f \left( c _{2} \right) = f \left( c _{6} \right) = \sin \left( - \frac{3 \pi}{2} \right) = 1 f(c3)=f(c5)=sin⁡(−5π2)=−1\displaystyle f \left( c _{3} \right) = f \left( c _{5} \right) = \sin \left( - \frac{5 \pi}{2} \right) = - 1 f(c4)=sin⁡(−17π6)=−12\displaystyle f \left( c _{4} \right) = \sin \left( - \frac{17 \pi}{6} \right) = - \frac{1}{2} 이므로 (1−n)×∑k=1nf(ck)\displaystyle \left( 1 - n \right) \times \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( c _{k} \right)=(1−7)×(−1×4+1×2−12)\displaystyle = \left( 1 - 7 \right) \times \left( - 1 \times 4 + 1 \times 2 - \frac{1}{2} \right) =−6×(−52)\displaystyle = - 6 \times \left( - \frac{5}{2} \right)=15= 15

태그

#극값#합성함수#삼각함수

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