합성 지수함수 실근

[출제의도] 여러 가지 미분법을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. $f ( x ) > 0$인 경우 $g ( x ) = e ^{2 f ( x )} f ( x )$이므로 $g' ( x ) = e ^{2 f ( x )} f' ( x ) ( 2 f ( x ) + 1 )$이므로 $f' ( x ) = 0$이면 $g' ( x ) = 0$이다. $f ( x ) < 0$인 경우 $g ( x ) = - e ^{2 f ( x )} f ( x )$이므로 $g' ( x ) = - e ^{2 f ( x )} f' ( x ) ( 2 f ( x ) + 1 )$이므로 $f' ( x ) = 0$이면 $g' ( x ) = 0$이고, $\displaystyle f ( x ) = - \frac{1}{2}$이면 $g' ( x ) = 0$이다. 조건 (나)에서 $h ( k ) = 9$를 만족하는 $f ( x )$는 그림과 같이 서로 다른 세근을 가지는 삼차함수이어야 한다.

또한, 조건 (가)의 $h ( 2 e ^{4} ) = 2$이기 위해서는 $\displaystyle g ( 0 ) > \frac{1}{2 e}$이어야 하므로 $g ( 0 ) = 2 e ^{4}$이고 $y = g ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

조건 (나)에 의해 $b - a$가 최대가 되는 $\displaystyle b = e ^{- 1} \left| - \frac{1}{2} \right|$이고, $a = e ^{2 ( - 2 )} \left| - 2 \right|$이므로 $f' ( p ) = 0$이 되는 $f ( p ) = - 2$가 된다. 또한, $f' ( 0 ) = 0$, $f ( 0 ) = 2$이므로 $f' ( x ) = 3 x ( x - p )$ $\displaystyle f ( x ) = x ^{3} - \frac{3}{2} px ^{2} + 2$ $\displaystyle f ( p ) = p ^{3} - \frac{3}{2} p ^{3} + 2 = - 2$, 따라서 $p = 2$ 그러므로 $f ( x ) = x ^{3} - 3 x ^{2} + 2$이고 $f ( 5 ) = 52$ [참고] ① 삼차함수 $f ( x )$가 서로 다른 두 실근을 가질 경우

② 삼차함수 $f ( x )$가 하나의 실근을 갖고 극값이 모두 양일 경우

③ 삼차함수 $f ( x )$가 하나의 실근을 갖고 극값이 모두 음일 경우