합성 지수함수 극값

[출제의도] 도함수를 활용하여 함수의 그래프 추론하기 $g' \left( x \right) = f' \left( x \right) \left\{ e ^{f \left( x \right)} - 1 \right\}$이므로 $g' \left( x \right) = 0$이려면 $f' \left( x \right) = 0$ 또는 $f \left( x \right) = 0$이어야 한다. (ⅰ) 방정식 $f \left( x \right) = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖는 경우 방정식 $f' \left( x \right) = 0$의 서로 다른 두 실근은 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 세 실근과 모두 다르므로 $g' \left( x \right) = 0$을 만족시키는 서로 다른 실수 $x$의 값의 개수는 $5$이다. $g' \left( x \right) = 0$을 만족시키는 서로 다른 $5$개의 실수 $x$의 값의 좌우에서 $g' \left( x \right)$의 부호가 바뀌므로 함수 $g \left( x \right)$는 서로 다른 $5$개의 극값을 갖는다. (ⅱ) 방정식 $f \left( x \right) = 0$이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우 (a) 방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$의 실근 중 하나가 $x = 0$인 경우 $b = 0$이므로 방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$의 $0$이 아닌 실근은 $x = \mathit{-} a$ $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2}$이므로 $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$, $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{2}{3} a$ $g' \left( x \right) = 0$에서 $x = \mathit{-} a$, $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{2}{3} a$, $x = 0$ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = \mathit{-} 1$에서 극값을 가지므로 $a > 0$ 함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

$\displaystyle - \frac{2}{3} a = \mathit{-} 1$이므로 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ $a$가 정수인 조건을 만족하지 않는다. (b) 방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$이 $0$이 아닌 중근을 갖는 경우 방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = a ^{2} - 4 b = 0$에서 $\displaystyle b = \frac{a ^{2}}{4}$ $\displaystyle f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + \frac{a ^{2}}{4} x = x \left( x + \frac{a}{2} \right) ^{2}$이므로 $f' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{a}{2}$, $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{a}{6}$ $g' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{a}{2}$, $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{a}{6}$, $x = 0$ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = \mathit{-} 1$에서 극값을 가지므로 $a > 0$ 함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

$\displaystyle - \frac{a}{6} = \mathit{-} 1$이므로 $a = 6$, $b = 9$ $\displaystyle \alpha = \mathit{-} \frac{a}{2} = \mathit{-} 3$, $\beta = 0$ 이때, $g \left( \alpha \right) = g \left( 0 \right) = 1$이므로 그림과 같이 함수 $y = \left| g \left( x \right) - g \left( \alpha \right) \right|$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(ⅲ) 방정식 $f \left( x \right) = 0$이 오직 하나의 실근을 갖는 경우 (a) 방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$이 $x = 0$을 중근으로 갖는 경우 $a = b = 0$ $f \left( x \right) = x ^{3}$이므로 $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$, $g' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$ 함수 $g \left( x \right)$는 $x = \mathit{-} 1$에서 극값을 갖지 않는다. (b) 방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$이 두 허근을 갖는 경우 방정식 $f' \left( x \right) = 0$의 실근 중 하나가 $x = \mathit{-} 1$이므로 $3 - 2 a + b = 0$, $b = 2 a - 3$ 방정식 $x ^{2} + ax + 2 a - 3 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = a ^{2} - 8 a + 12 < 0$에서 $2 < a < 6$ $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + \left( 2 a - 3 \right) x = x \left( x ^{2} + ax + 2 a - 3 \right)$이므로 $f' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = \frac{3 - 2 a}{3}$, $x = \mathit{-} 1$ $g' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = \frac{3 - 2 a}{3}$, $x = \mathit{-} 1$, $x = 0$ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = \alpha$, $x = \mathit{-} 1$, $x = \beta$에서만 극값을 가지므로 $\displaystyle \frac{3 - 2 a}{3} < \mathit{-} 1$ 함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

$2 < a < 6$, $\displaystyle \frac{3 - 2 a}{3} < \mathit{-} 1$을 만족하는 정수 $a$는 $4$, $5$이다. $a = 4$이면 $b = 5$ 함수 $g \left( x \right)$는 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{5}{3}$, $x = \mathit{-} 1$, $x = 0$에서 극값을 갖고 $\displaystyle g \left( \alpha \right) = g \left( - \frac{5}{3} \right) = \mathit{e} ^{- \frac{50}{27}} + \frac{50}{27} > 1$, $g \left( 0 \right) = 1$이므로 함수 $y = \left| g \left( x \right) - g \left( \alpha \right) \right|$의 미분가능하지 않은 점의 개수는 $2$이다.

$\therefore$ $\left\{ f \left( - 1 \right) \right\} ^{2} = \left( - 2 \right) ^{2} = 4$ $a = 5$이면 $b = 7$ 함수 $g \left( x \right)$는 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{7}{3}$, $x = \mathit{-} 1$, $x = 0$에서 극값을 갖고 $\displaystyle g \left( \alpha \right) = g \left( - \frac{7}{3} \right) = \mathit{e} ^{- \frac{49}{27}} + \frac{49}{27} > 1$, $g \left( 0 \right) = 1$이므로 함수 $y = \left| g \left( x \right) - g \left( \alpha \right) \right|$의 미분가능하지 않은 점의 개수는 $2$이다.

$\therefore$ $\left\{ f \left( - 1 \right) \right\} ^{2} = \left( - 3 \right) ^{2} = 9$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $\left\{ f \left( - 1 \right) \right\} ^{2}$의 최댓값은 $9$이다.