합이 일정할 때 로그 합의 최댓값

$\log _{2} x + \log _{2} y = \log _{2} xy$ $x > 0 , y > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle x + 4 y \geq 2 \sqrt{x \times 4 y} = 4 \sqrt{xy}$ $\displaystyle 32 \geq 4 \sqrt{xy}$에서 $\displaystyle \sqrt{xy} \leq 8$, 즉 $xy \leq 64$ 등호는 $x = 4 y$, 즉 $x = 16 , y = 4$일 때 성립한다. 따라서 $\log _{2} xy \leq \log _{2} 64 = 6$이므로 구하는 최댓값은 $6$이다.