합과 절댓값 조건 수열

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$에 대하여 $a _{2} = 27$, $a _{3} a _{4} > 0$이고, $n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = 2 \left| a _{n} \right|$이다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n + 1} a _{k} = 2 \left| a _{n + 1} \right|$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡$-$㉠을 하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n + 1} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = 2 \left| a _{n + 1} \right| - 2 \left| a _{n} \right|$ $\therefore$ $a _{n + 1} = 2 \left| a _{n + 1} \right| - 2 \left| a _{n} \right| \left( n \geq 2 \right)$ 양변에 $n = 2$, $n = 3$, $n = 4$를 각각 대입하면 $a _{3} = 2 \left| a _{3} \right| - 2 \left| a _{2} \right|$ $a _{4} = 2 \left| a _{4} \right| - 2 \left| a _{3} \right|$ $a _{5} = 2 \left| a _{5} \right| - 2 \left| a _{4} \right|$ (ⅰ) $a _{3} > 0$, $a _{4} > 0$일 때 $a _{3} = 2 \left| a _{3} \right| - 2 \left| a _{2} \right|$에서 $a _{3} = 2 a _{3} - 2 \times 27$, $a _{3} = 54$ $a _{4} = 2 \left| a _{4} \right| - 2 \left| a _{3} \right|$에서 $a _{4} = 2 a _{4} - 2 \times 54$, $a _{4} = 108$ $a _{5} = 2 \left| a _{5} \right| - 2 \left| a _{4} \right|$에서 $a _{5} = 2 \left| a _{5} \right| - 2 \times 108$ $a _{5} < 0$이면 $a _{5} = - 2 a _{5} - 2 \times 108$, $a _{5} = - 72$ $a _{5} > 0$이면 $a _{5} = 2 a _{5} - 2 \times 108$, $a _{5} = 216$ (ⅱ) $a _{3} < 0$, $a _{4} < 0$일 때 $a _{3} = 2 \left| a _{3} \right| - 2 \left| a _{2} \right|$에서 $a _{3} = - 2 a _{3} - 2 \times 27$, $a _{3} = - 18$ $a _{4} = 2 \left| a _{4} \right| - 2 \left| a _{3} \right|$에서 $a _{4} = - 2 a _{4} - 2 \times 18$, $a _{4} = - 12$ $a _{5} = 2 \left| a _{5} \right| - 2 \left| a _{4} \right|$에서 $a _{5} = 2 \left| a _{5} \right| - 2 \times 12$ $a _{5} < 0$이면 $a _{5} = - 2 a _{5} - 2 \times 12$, $a _{5} = - 8$ $a _{5} > 0$이면 $a _{5} = 2 a _{5} - 2 \times 12$, $a _{5} = 24$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a _{5} = - 72$ 또는 $a _{5} = 216$ 또는 $a _{5} = - 8$ 또는 $a _{5} = 24$ 이므로 $\left| a _{5} \right|$의 최댓값과 최솟값은 $M = 216$, $m = 8$ $\therefore$ $M + m = 224$