합과 제곱의 합이 주어진 네 실수 중 한 수의 범위

실마리: 두 조건에서 $x + y + z = 4 - w$, $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 16 - w ^{2}$이므로, 세 실수 $x$, $y$, $z$에 코시-슈바르츠 부등식을 써서 $w$만의 부등식을 만든다. 코시-슈바르츠 부등식에 의하여 $( 1 ^{2} + 1 ^{2} + 1 ^{2} ) ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) \geq ( x + y + z ) ^{2}$ $3 ( 16 - w ^{2} ) \geq ( 4 - w ) ^{2}$ $48 - 3 w ^{2} \geq 16 - 8 w + w ^{2}$ $4 w ^{2} - 8 w - 32 \leq 0$, 즉 $w ^{2} - 2 w - 8 \leq 0$ $( w - 4 ) ( w + 2 ) \leq 0$이므로 $- 2 \leq w \leq 4$ 등호는 $x = y = z$일 때 성립하므로 실제로 이 값이 되는지 확인한다. $w = 4$일 때 $x = y = z = 0$이면 $x + y + z + w = 4$, $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} + w ^{2} = 16$을 만족시킨다. $w = - 2$일 때 $x = y = z = 2$이면 $x + y + z + w = 6 - 2 = 4$, $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} + w ^{2} = 12 + 4 = 16$을 만족시킨다. (다른 풀이) $w$가 최대 또는 최소가 되는 것은 $x = y = z = t$일 때이므로 $3 t + w = 4$, $3 t ^{2} + w ^{2} = 16$에서 $\displaystyle t = \frac{4 - w}{3}$을 대입하면 $( 4 - w ) ^{2} + 3 w ^{2} = 48$, 즉 $w ^{2} - 2 w - 8 = 0$에서 $w = 4$ 또는 $w = - 2$로 같은 결과를 얻는다. 따라서 $M = 4$, $m = - 2$이므로 $M - m = 6$