항상 접하는 직선

직선 $y = ax + b$와 이차함수 $y = x ^{2} - 2 mx + m ^{2} + 3 m$의 그래프가 실수 $m$의 값에 관계없이 항상 한 점에서 만나므로 $x ^{2} - 2 mx + m ^{2} + 3 m = ax + b$ $x ^{2} - \left( 2 m + a \right) x + m ^{2} + 3 m - b = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D$$= \left( 2 m + a \right) ^{2} - 4 \left( m ^{2} + 3 m - b \right)$ $= \left( 4 a - 12 \right) m + a ^{2} + 4 b$ 가 실수 $m$의 값에 관계없이 항상 $0$이어야 한다. 즉, $4 a - 12 = 0$, $a ^{2} + 4 b = 0$ 따라서 $a = 3$, $\displaystyle b = - \frac{9}{4}$이고 $\displaystyle a + b = \frac{3}{4}$