미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

한 점에서 그은 세 접선

문제

함수 $f ( x ) = x ^{3} + 3 x ^{2}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정수 $a$ 의 최댓값을 $M$ 이라 할 때, $M ^{2}$ 의 값을 구하시오. [4점]

(가) 점 $\left( - 4 , a \right)$ 를 지나고 곡선 $y = f ( x )$ 에 접하는 직선이 세 개 있다. (나) 세 접선의 기울기의 곱은 음수이다.

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9

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해설

[출제의도] 세 개의 접선이 존재할 수 있는 점의 범위를 찾는 문제를 해결한다.

함수 $y$ $= f ( x )$ 는 $x$ $= - 2$ 에서 극댓값 $4$ , $x$ $= 0$ 에서 극솟값 $0$ 을 갖는다. 세 접선의 기울기의 곱이 음수이므로 $y$ $= f ( x )$ 의 그래프에 접하는 세 접선의 기울기 중 한 접선의 기울기만 음수이다. $0$ $< a$ $< 4$ 이므로 정수 $a$ 의 최댓값 $M$ 은 $3$ 이다. 따라서 $M ^{2}$ $= 9$

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