한 변과 그 대각이 정해진 삼각형에서 두 변의 합의 최댓값

코사인법칙에서 $\displaystyle 36 = b ^{2} + c ^{2} - 2 bc \cos \left( \frac{2 \pi}{3} \right) = b ^{2} + c ^{2} + bc$ $b ^{2} + c ^{2} + bc = ( b + c ) ^{2} - bc$이므로 $( b + c ) ^{2} = 36 + bc$ $\displaystyle bc \leq \left( \frac{b + c}{2} \right) ^{2} = \frac{( b + c ) ^{2}}{4}$이므로 $\displaystyle ( b + c ) ^{2} \leq 36 + \frac{( b + c ) ^{2}}{4}$ $\displaystyle \frac{3}{4} ( b + c ) ^{2} \leq 36$, $( b + c ) ^{2} \leq 48$ $b + c > 0$이므로 $\displaystyle b + c \leq 4 \sqrt{3}$ (등호는 $\displaystyle b = c = 2 \sqrt{3}$일 때 성립) 따라서 $b + c$의 최댓값은 $\displaystyle 4 \sqrt{3}$