공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

해집합이 같은 다항식

문제

두 집합 $A = \left\{ x \left| x ^{3} + ax ^{2} + bx + c = 0 \right\} \right.$ $B = \left\{ x \left| x ^{2} + x - 2 = 0 \right\} \right.$ 에 대하여 $A = B$ 가 성립한다. 다항식 $x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$ 를 $x ^{2} + x - 2$ 로 나눈 몫을 $Q ( x )$ 라 할 때, $Q ( 100 )$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ , $b$ , $c$ 는 상수이고, $c > 0$ 이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 삼차방정식의 해를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. 이차방정식 $x ^{2} + x - 2 = 0$ 의 해는 $x = - 2$ 또는 $x = 1$ 이므로 $B = \left\{ 1 , - 2 \right\}$ 따라서 $x ^{3} + ax ^{2} + bx + c = 0$ 의 해가 $x = - 2$ 또는 $x = 1$ 이어야 하므로 $x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$ 는 $( x + 2 ) ^{2} ( x - 1 )$ 이거나 $( x + 2 ) ( x - 1 ) ^{2}$ 이다. 이 때 $c > 0$ 이므로 $x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$ $= ( x + 2 ) ( x - 1 ) ^{2}$ 따라서 $Q ( x ) = x - 1$ 이므로 $Q ( 100 ) = 100 - 1 = 99$

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