해가 하나뿐일 조건으로 상수 구하기

$x ^{2} + y ^{2} + ax + by + 13 = 0$에서 $\displaystyle \left( x + \frac{a}{2} \right) ^{2} + \left( y + \frac{b}{2} \right) ^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{4} - 13$ 우변을 $k$라 하자. $k > 0$이면 $\displaystyle ( x , y ) = \left( - \frac{a}{2} + \sqrt{k} , - \frac{b}{2} \right)$, $\displaystyle \left( - \frac{a}{2} - \sqrt{k} , - \frac{b}{2} \right)$가 모두 등식을 만족시켜 순서쌍이 둘 이상이고, $k < 0$이면 좌변이 $0$ 이상이므로 순서쌍이 없다. 순서쌍이 하나뿐이려면 $k = 0$이어야 하고, 이때 $\displaystyle x + \frac{a}{2} = 0$, $\displaystyle y + \frac{b}{2} = 0$ 이 순서쌍이 $( 2 , - 3 )$이므로 $\displaystyle - \frac{a}{2} = 2$, $\displaystyle - \frac{b}{2} = - 3$ $a = - 4$, $b = 6$ 이때 $\displaystyle k = \frac{16 + 36}{4} - 13 = 0$이므로 조건을 만족시킨다. 따라서 $a - b = - 10$