교점이 격자점이 되는 정수 조건

$x - y = k$에서 $x = y + k$를 $3 x + 2 y = 12$에 대입하면 $3 \left( y + k \right) + 2 y = 12$, $5 y = 12 - 3 k$ $\displaystyle y = \frac{12 - 3 k}{5}$, $\displaystyle x = y + k = \frac{12 + 2 k}{5}$ $y$가 정수이려면 $12 - 3 k$가 $5$의 배수여야 한다. $k$를 $5$로 나눈 나머지가 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$일 때 $12 - 3 k$를 $5$로 나눈 나머지는 각각 $2$, $4$, $1$, $3$, $0$이므로 $k$를 $5$로 나눈 나머지가 $4$일 때만 가능하다. $k = 5 t + 4$ ($t$는 정수)라 하면 $\displaystyle y = \frac{12 - 15 t - 12}{5} = - 3 t$, $\displaystyle x = \frac{12 + 10 t + 8}{5} = 2 t + 4$이므로 $x$, $y$가 모두 정수이다. $- 10 \leq 5 t + 4 \leq 10$에서 $t = - 2 , - 1 , 0 , 1$ 즉 $k = - 6 , - 1 , 4 , 9$ (검산: $k = 9$이면 교점은 $\left( 6 , - 3 \right)$이고 $18 - 6 = 12$, $6 + 3 = 9$이다.) 따라서 정수 $k$의 개수는 $4$