교점 좌표 절댓값 평균

[출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계를 이용하여 미지수의 개수를 구하는 문제를 해결한다. 직선 $y = n$이 곡선 $y = x ^{2} - 4 x + 4$와 만나는 점의 $x$좌표는 이차방정식 $x ^{2} - 4 x + 4 = n$의 실근과 같다. $x ^{2} - 4 x + 4 = n$ $\left( x - 2 \right) ^{2} = n$ $\displaystyle x - 2 = \mathit{\pm} \sqrt{n}$ $x$$\displaystyle = 2 - \sqrt{n}$ 또는 $\displaystyle x = 2 + \sqrt{n}$ $x _{1}$, $x _{2}$ 중 작은 것을 $\alpha$, 큰 것을 $\beta$라 하면 $\displaystyle \alpha = 2 - \sqrt{n}$, $\displaystyle \beta = 2 + \sqrt{n}$이다. (ⅰ) $1 \leq n \leq 4$인 경우 $\alpha \geq 0$, $\beta > 0$이므로 $\displaystyle \left| x _{1} \right| + \frac{\left| x _{2} \right|}{2}$$\displaystyle = \frac{\alpha + \beta}{2}$$\displaystyle = \frac{\left( 2 - \sqrt{n} \right) + \left( 2 + \sqrt{n} \right)}{2}$$= 2$ 따라서 $\displaystyle \left| x _{1} \right| + \frac{\left| x _{2} \right|}{2}$의 값이 자연수가 되는 $n$의 값은 $1$, $2$, $3$, $4$이므로 개수는 $4$이다. (ⅱ) $n > 4$인 경우 $\alpha < 0 < \beta$이므로 $\displaystyle \left| x _{1} \right| + \frac{\left| x _{2} \right|}{2}$$\displaystyle = \frac{- \alpha + \beta}{2}$$\displaystyle = \frac{\left( \sqrt{n} - 2 \right) + \left( 2 + \sqrt{n} \right)}{2}$$\displaystyle = \sqrt{n}$ 따라서 $\displaystyle \left| x _{1} \right| + \frac{\left| x _{2} \right|}{2}$의 값이 자연수가 되는 $100$ 이하의 자연수 $n$의 값은 $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$이므로 개수는 $8$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle \left| x _{1} \right| + \frac{\left| x _{2} \right|}{2}$의 값이 자연수가 되도록 하는 $100$ 이하의 자연수 $n$의 개수는 $4 + 8 = 12$