교점 개수의 극한

[출제의도] 지수함수의 그래프를 활용하여 추론하기 함수 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} 2 ^{x - 2} & ( x < 2 ) \\ 2 ^{- x + 2} & ( x \geq 2 ) \end{cases}}$의 그래프는 아래와 같다.

$g ( x ) = \left| f ( x ) - k \right| + k$ $\displaystyle = {\begin{cases} f ( x ) & \left( f ( x ) \geq k \right) \\ - f ( x ) + 2 k & \left( f ( x ) < k \right) \end{cases}}$ i) ${k} \leq 0$일 때, $f ( x ) > k$이므로 $g ( x ) = f ( x ) > 0 \geq 2 k$ 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = 2 k$의 그래프가 만나는 점이 없다. $h ( k ) = 0$

$y = 2 k$

ii) $\displaystyle 0 < {k} < \frac{1}{2}$일 때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = k$가 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하면, 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 아래와 같다. $h ( k ) = 2$

$y = 2 k < 1$

iii) $\displaystyle k = \frac{1}{2}$일 때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = k$가 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하면, 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 아래와 같다. $\displaystyle h \left( \frac{1}{2} \right) = 1$

$y = 2 k = 1$

iv) $\displaystyle \frac{1}{2} < k < 1$일 때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = k$가 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하면, 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 아래와 같다. $h ( k ) = 0$

$y = 2 k > 1$

v) $k \geq 1$일 때, $g ( x ) = - f ( x ) + 2 k < 2 k$이므로 $h ( k ) = 0$ ① $k = 1$인 경우

$y = 2 k$

② $k > 1$인 경우

$y = 2 k$

따라서 $y = h ( k )$의 그래프는 아래와 같다.

$\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow \frac{1}{4} -} {h ( k ) = 2}$이고 $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow \frac{1}{4} -} {h \left( k + \frac{1}{4} \right) = 2}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow \frac{1}{4} -} {h ( k ) h \left( k + \frac{1}{4} \right) = 4}$