교점 개수 함수와 연속

[출제의도] 함수의 연속성을 이용하여 문제를 해결한다. 직선 $y$$= mx$는 실수 $m$의 값에 관계없이 항상 원점을 지나므로 직선 $y$$= mx$와 함수 $f ( x )$$\displaystyle = {\begin{cases} x + 4 _{} & ( x < 1 ) _{} \\ 3 x + 2 ^{} & ( x \geq 1 ) ^{} \end{cases}}$의 그래프는 다음과 같다.

그러므로 함수 $g ( m )$은 $g ( m )$$\displaystyle = {\begin{cases} 1 _{} & ( m < 1 \text{또는} m > 3 ) _{} \\ 0 ^{} & ( 1 \leq m \leq 3 ) ^{} \end{cases}}$ 즉, 함수 $g ( m )$은 $m$$= 1$과 $m$$= 3$에서 불연속이다. 그런데 함수 $g ( x ) h ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x$$= 1$, $x$$= 3$에서도 연속이 되어야 한다. (ⅰ) $x = 1$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {g ( x ) h ( x )}$$= 1 \times h ( 1 )$$= h ( 1 )$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {g ( x ) h ( x )}$$= 0 \times h ( 1 )$$= 0$ 함수 $g ( x ) h ( x )$는 $x$$= 1$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {g ( x ) h ( x )}$의 값이 존재한다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {g ( x ) h ( x )}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {g ( x ) h ( x )}$에서 $h ( 1 )$$= 0$ (ⅱ) $x$$= 3$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {g ( x ) h ( x )}$$= 0 \times h ( 3 )$$= 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {g ( x ) h ( x )}$$= 1 \times h ( 3 )$$= h ( 3 )$ 함수 $g ( x ) h ( x )$는 $x$$= 3$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {g ( x ) h ( x )}$의 값이 존재한다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {g ( x ) h ( x )}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {g ( x ) h ( x )}$에서 $h ( 3 )$$= 0$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $h ( 1 )$$= h ( 3 )$$= 0$이므로 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $h ( x )$는 $h ( x )$$= ( x - 1 ) ( x - 3 )$ 따라서 $h ( 5 )$$= 4 \times 2$$= 8$