교점 개수 함수와 극한

[출제의도] 함수의 연속을 이용하여 추론하기 함수 $\left| f \left( x \right) \right|$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\left| f \left( x \right) \right|} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\left| 2 x + a \right|} = \left| a \right|$, $\displaystyle \left| f \left( 0 \right) \right| = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\left| f \left( x \right) \right|} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\left| x ^{2} + bx + c \right| = \left| c \right|}$에서 $a = c$ 또는 $a = \mathit{-} c$ 조건 (가)에서 $4$가 함수 $g \left( t \right)$의 치역의 원소 중 하나이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 실수 $t$가 존재해야 한다. 그러므로 직선 $y = t$가 $x < 0$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하고, $x \geq 0$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $t$가 존재해야 한다. 따라서 $a > 0$, $b < 0$, $c = a$이고 함수 $y = x ^{2} + bx + c$ $\left( x \geq 0 \right)$의 최솟값이 $0$보다 작아야 한다. 함수 $y = x ^{2} + bx + c$ $\left( x \geq 0 \right)$의 최솟값을 $k$라 하자. (ⅰ) $- a < k < 0$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같으므로 함수 $g \left( t \right)$의 치역은 $\left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$이다.

$y = f ( x )$

함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프의 개형과 함수 $y = h \left( t \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$y = \mathit{-} k$ $y = \left| f ( x ) \right|$

$y = h ( t )$

(ⅱ) $k < \mathit{-} a$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같으므로 함수 $g \left( t \right)$의 치역은 $\left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$이다.

$y = f ( x )$

함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프의 개형과 함수 $y = h \left( t \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$y = \mathit{-} k$ $y = \left| f ( x ) \right|$

$y = h ( t )$

(ⅲ) $k = \mathit{-} a$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같으므로 함수 $g \left( t \right)$의 치역은 $\left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$이다.

$y = f ( x )$

함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프의 개형과 함수 $y = h \left( t \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$y = \left| f ( x ) \right|$

$y = h ( t )$

(ⅰ) ~ (ⅲ)에 의하여 $k = \mathit{-} a$일 때, 함수 $h \left( t \right)$가 조건 (나)를 만족시키므로 $a = 2$이고 $c = 2$, $k = \mathit{-} 2$ $x ^{2} + bx + 2$$\displaystyle = \left( x + \frac{b}{2} \right) ^{2} + 2 - \frac{b ^{2}}{4}$이므로 $\displaystyle 2 - \frac{b ^{2}}{4} = \mathit{-} 2$, $b = \mathit{-} 4$ $\left( b < 0 \right)$ 함수 $f \left( x \right)$는 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} - \left| 2 x + 2 \right| _{{} _{}} & \left( x < 0 \right) _{{} _{{} _{}}} \\ x ^{2} - 4 x + 2 ^{{} ^{{} ^{}}} & \left( x \geq 0 \right) ^{{} ^{{} ^{}}} \end{cases}}$ 따라서 $f \left( - 2 \right) + f \left( 6 \right) = \mathit{-} 2 + 14 = 12$