교점 개수 함수의 연속

[출제의도] 함수의 연속을 이용하여 추론하기 정의역이 $\left\{ x \left| x \geq m \right\} \right.$인 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{4} \left( x - 3 \right) ^{2}$의 그래프가 직선 $y = mx$와 만나는 점의 개수를 $h _{1} \left( m \right)$이라 하고 정의역이 $\left\{ x \left| x < m \right\} \right.$인 함수 $y = x ^{2} + ax + b$의 그래프가 직선 $y = mx$와 만나는 점의 개수를 $h _{2} \left( m \right)$이라 하면 $g \left( m \right) = h _{1} \left( m \right) + h _{2} \left( m \right)$이다. 함수 $g \left( m \right)$이 $m = 0$에서 연속이므로 $g \left( 0 \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{m \rightarrow 0 +} {g \left( m \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{m \rightarrow 0 -} {g \left( m \right)}$이고 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{4} \left( x - 3 \right) ^{2}$의 그래프는 $x = 3$에서 $x$축에 접하므로 $\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow 0 +} {h _{1} \left( m \right)} = 2$, $\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow 0 -} {h _{1} \left( m \right)} = 0$, $h _{1} \left( 0 \right) = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow 0 +} {g \left( m \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{m \rightarrow 0 +} {\left\{ h _{1} \left( m \right) + h _{2} \left( m \right) \right\}}$$\displaystyle = 2 + \lim\limits _{m \rightarrow 0 +} {h _{2} \left( m \right)}$ $\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow 0 -} {g \left( m \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{m \rightarrow 0 -} {\left\{ h _{1} \left( m \right) + h _{2} \left( m \right) \right\}}$$\displaystyle = 0 + \lim\limits _{m \rightarrow 0 -} {h _{2} \left( m \right)}$ $g \left( 0 \right) = h _{1} \left( 0 \right) + h _{2} \left( 0 \right) = 1 + h _{2} \left( 0 \right)$ 따라서 $\displaystyle 2 + \lim\limits _{m \rightarrow 0 +} {h _{2} \left( m \right)}$$\displaystyle = 0 + \lim\limits _{m \rightarrow 0 -} {h _{2} \left( m \right)}$$= 1 + h _{2} \left( 0 \right)$ 이때, $h _{2} \left( m \right) = 0$ 또는 $h _{2} \left( m \right) = 1$ 또는 $h _{2} \left( m \right) = 2$ 이므로 $h _{2} \left( 0 \right) = 0$일 때 $\displaystyle 2 + \lim\limits _{m \rightarrow 0 +} {h _{2} \left( m \right)}$$= 1 + h _{2} \left( 0 \right)$$= 1$, $\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow 0 +} {h _{2} \left( m \right)} = \mathit{-} 1$ 이므로 성립하지 않는다. $h _{2} \left( 0 \right) = 2$일 때 $\displaystyle 0 + \lim\limits _{m \rightarrow 0 -} {h _{2} \left( m \right)}$$= 1 + h _{2} \left( 0 \right)$$= 3$, $\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow 0 -} {h _{2} \left( m \right)} = 3$이므로 성립하지 않는다. 따라서 $h _{2} \left( 0 \right) = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow 0 -} {h _{2} \left( m \right)} = 2$, $\displaystyle \lim\limits _{m \rightarrow 0 +} {h _{2} \left( m \right)} = 0$이므로 $y = x ^{2} + ax + b$의 그래프는 $x < 0$에서 $x$축에 접한다. 따라서 $a > 0$, $\displaystyle b = \frac{a ^{2}}{4}$, $g \left( 0 \right) = 2$ (ⅰ) 직선 $y = mx$와 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{4} \left( x - 3 \right) ^{2}$의 위치관계를 확인하면 $\displaystyle mx = \frac{1}{4} \left( x - 3 \right) ^{2}$ $x ^{2} - \left( 4 m + 6 \right) x + 9 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = \left( 4 m + 6 \right) ^{2} - 4 \times 9 = 16 m \left( m + 3 \right)$ 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{4} \left( x - 3 \right) ^{2}$의 그래프와 직선 $y = mx$는 $- 3 < m < 0$에서 만나지 않고 $m = 0$, $m = \mathit{-} 3$에서 한 점에서 만나고 $m < \mathit{-} 3$ 또는 $m > 0$에서 두 점에서 만난다. $x = m$일 때 직선 $y = mx$와 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{4} \left( x - 3 \right) ^{2}$의 $y$좌표의 대소관계를 확인하면 $\displaystyle \frac{1}{4} \left( m - 3 \right) ^{2} - m ^{2}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{4} \left( m + 3 \right) \left( m - 1 \right)$이므로 $m < 0$에서 $- 3 < m < 0$일 때 $\displaystyle y = \frac{1}{4} \left( x - 3 \right) ^{2}$의 $y$좌표가 더 크고 $m < - 3$일 때 $y = mx$의 $y$좌표가 더 크다. 직선 $y = mx$와 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{4} \left( x - 3 \right) ^{2}$의 그래프의 교점의 개수는 다음과 같다. ⅰ) $m < \mathit{-} 3$일 때 $x \geq m$에서 교점의 개수 $h _{1} \left( m \right) = 1$

$\displaystyle y = \frac{1}{4} \left( x - 3 \right) ^{2}$ $y = mx$

ⅱ) $m = \mathit{-} 3$일 때 $x \geq m$에서 교점의 개수 $h _{1} \left( m \right) = 1$

$\displaystyle y = \frac{1}{4} \left( x - 3 \right) ^{2}$ $y = mx$

ⅲ) $- 3 < m < 0$일 때 $x \geq m$에서 교점의 개수 $h _{1} \left( m \right) = 0$

$\displaystyle y = \frac{1}{4} \left( x - 3 \right) ^{2}$ $y = mx$

$g \left( m \right)$은 $m \leq 0$에서 연속이고 $g \left( 0 \right) = 2$이므로 $m < \mathit{-} 3$일 때 $h _{2} \left( m \right) = 1$ $m = \mathit{-} 3$일 때 $h _{2} \left( m \right) = 1$ $- 3 < m < 0$일 때 $h _{2} \left( m \right) = 2$ (ⅱ) 직선 $y = mx$와 곡선 $\displaystyle y = x ^{2} + ax + \frac{a ^{2}}{4}$의 위치관계를 확인하면 $x = m$일 때 $\displaystyle m ^{2} + am + \frac{a ^{2}}{4} - m \times m = a \left( m + \frac{a}{4} \right)$이므로 $\displaystyle m = \mathit{-} \frac{a}{4}$일 때 함수 $\displaystyle y = x ^{2} + ax + \frac{a ^{2}}{4}$의 그래프와 직선 $y = mx$는 $x = m$에서 만난다. ⅰ) $\displaystyle m < - \frac{a}{4}$일 때 $x < m$에서 교점의 개수 $h _{2} \left( m \right) = 1$

$\displaystyle - \frac{a}{4}$ $y = x ^{2} + ax + b$ $y = mx$

ⅱ) $\displaystyle m = \mathit{-} \frac{a}{4}$일 때 $x < m$에서 교점의 개수 $h _{2} \left( m \right) = 1$

$\displaystyle - \frac{a}{4}$ $y = x ^{2} + ax + b$ $y = mx$

ⅲ) $\displaystyle - \frac{a}{4} < m < 0$일 때 $x < m$에서 교점의 개수 $h _{2} \left( m \right) = 2$

$\displaystyle - \frac{a}{4}$ $y = x ^{2} + ax + b$ $y = mx$

(ⅰ), (ⅱ)에서

$m \leq 0$에서 함수 $g \left( m \right)$이 연속이 되려면 $\displaystyle - \frac{a}{4} = \mathit{-} 3$, $a = 12$ $\displaystyle b = \frac{a ^{2}}{4}$이므로 $b = 36$ 따라서 $a + b = 48$