교점 개수 함수의 연속

[출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 함수 $y = f ( x )$의 그래프에서 $x \geq 0$인 부분에서의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동시킨 그래프이므로 다음과 같은 $6$가지 경우의 그래프의 개형을 갖는다.

함수 $h ( t )$가 조건 (가)의 $h ( 2 ) < h ( - 1 ) < h ( 0 )$을 만족시키는 경우는 다음의 $4$가지이다.

즉, 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 ④의 경우가 유일하다. $h ( t ) = 3$을 만족시키는 $t$를 $\alpha$, $h ( t ) = 2$를 만족시키는 $t$를 $\beta$($\alpha < \beta$)라 하면, 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 함수 $y = h ( t )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\alpha$ $h ( t ) = 0$ $h ( t ) = 2$ $h ( t ) = 4$ $h ( t ) = 3$ $h ( t ) = 2$ $\beta$ $y = g ( x )$

$\alpha$ $\beta$ $y = h ( t )$

(단, $- 1 \leq \alpha \leq 0 , 0 < \beta \leq 2$) 조건 (나)에서 함수 $( t ^{2} - t ) h ( t )$가 모든 실수 $t$에서 연속이려면 $t = \alpha$, $t = \beta$에서 연속이어야 한다. $t = \alpha$에서 연속이어야 하므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \alpha +} {( t ^{2} - t ) h ( t )} = \lim\limits _{t \rightarrow \alpha -} {( t ^{2} - t ) h ( t )}$$= ( \alpha ^{2} - \alpha ) h ( \alpha )$ 에서 $\alpha ^{2} - \alpha = 0$, 즉 $\alpha = 0 , 1$ 또, $t = \beta$에서 연속이어야 하므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \beta +} {( t ^{2} - t ) h ( t )} = \lim\limits _{t \rightarrow \beta -} {( t ^{2} - t ) h ( t )}$$= ( \beta ^{2} - \beta ) h ( \beta )$ 에서 $\beta ^{2} - \beta = 0$, 즉 $\beta = 0 , 1$ $\alpha = 0 , \beta = 1$이므로 함수 $h ( t )$는 다음과 같다. $\displaystyle h ( t ) = {\begin{cases} 0 ( t > 1 ) \\ 2 ( t = 1 ) \\ 4 ( 0 < t < 1 ) \\ 3 ( t = 0 ) \\ 2 ( t < 0 ) \end{cases}}$ 이를 만족시키는 이차함수 $f ( x )$는 원점을 지나고 제$1$사분면에서 최댓값이 $1$인 위로 볼록한 함수이다. 즉 $f ( x ) = a ( x - b ) ^{2} + 1$ $( a < 0 , b > 0 )$ $f ( 0 ) = 0$이므로 $ab ^{2} = - 1$ $\displaystyle a = - \frac{1}{b ^{2}}$이고 $a$는 정수이므로 $b ^{2} = 1$ 즉 $b = 1$이므로 $a = - 1$ $f ( x ) = - ( x - 1 ) ^{2} + 1 = - x ^{2} + 2 x$ 따라서 $\displaystyle 80 f \left( \frac{1}{2} \right) = 80 \times \frac{3}{4} = 60$