교점 개수 함수의 연속

[출제의도] 교점의 개수의 규칙성을 이용하여 함수의 연속 추론하기 점 $\left( 0 , 5 \right)$를 지나고 기울기가 $t$인 직선이 함수 $f \left( x \right)$의 그래프가 만나는 점의 개수를 $a$의 값의 범위에 따라 나타내면 다음과 같다. $\left( \mathrm{i} \right)$ $a + 7 < 5$$\left( a < - 2 \right)$일 때

$y = f \left( x \right)$

기울기 $t$의 범위에 따라 교점의 개수는 $1$, $2$, $3$이다. 따라서 $g \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$g \left( t \right)$

그러므로 $g \left( t \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이 아니다. $\left( \mathrm{ii} \right)$ $a + 7 = 5$$\left( a = - 2 \right)$일 때

기울기 $t$의 범위에 따라 교점의 개수는 $2$, $3$이다. 따라서 $g \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$g \left( t \right)$

그러므로 $g \left( t \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이 아니다. $\left( \mathrm{iii} \right)$ $a - 1 < 5 < a + 7$ $\left( - 2 < a < 6 \right)$일 때

기울기 $t$의 범위에 따라 교점의 개수는 $2$이다. 따라서 $g \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$g \left( t \right)$

그러므로 $g \left( t \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. $\left( \mathrm{iv} \right)$ $a - 1 = 5 \left( a = 6 \right)$일 때

기울기 $t$의 범위에 따라 교점의 개수는 $1$, $2$이다. 따라서 $g \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$g \left( t \right)$

그러므로 $g \left( t \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이 아니다. $\left( \mathrm{v} \right)$ $a - 1 > 5$$\left( a > 6 \right)$일 때

기울기 $t$의 범위에 따라 교점의 개수는 $1$, $2$, $3$이다. 따라서 $g \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$g \left( t \right)$

그러므로 $g \left( t \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이 아니다. 따라서 $\left( \mathrm{i} \right)$~$\left( \mathrm{v} \right)$에서 함수 $g \left( t \right)$가 모든 실수 $t$에 대하여 연속이 되도록 하는 $a$의 범위는 $- 2 < a < 6$이므로 정수 $a$는 $- 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5$이다. 그러므로 그 합은 $- 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14$이다.