공통수학1이차방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

계수의 조건과 근의 판별

문제

실수 $a , b , c ( a \ne 0 )$ 에 대하여 $x$ 에 대한 이차방정식 $ax ^{2} + bx + c = 0$ 에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보기> ㄱ. $ac < 0$ 이면 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄴ. $b = 0$ 이고 $ac > 0$ 이면 서로 다른 두 허근을 갖는다. ㄷ. $a + b + c = 0$ 이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

판별식을 $D = b ^{2} - 4 ac$ 라 하자. ㄱ. $ac < 0$ 이면 $- 4 ac > 0$ 이므로 $D = b ^{2} - 4 ac > 0$ 따라서 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) ㄴ. $b = 0$ 이고 $ac > 0$ 이면 $D = - 4 ac < 0$ 따라서 서로 다른 두 허근을 갖는다. (참) ㄷ. $a + b + c = 0$ 이면 $b = - ( a + c )$ 이므로 $D = ( a + c ) ^{2} - 4 ac = ( a - c ) ^{2} \geq 0$ $a = c$ 이면 $D = 0$ 이 되어 중근을 갖는다. 예를 들어 $x ^{2} - 2 x + 1 = 0$ 은 $a + b + c = 0$ 이지만 중근 $x = 1$ 을 갖는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③

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