공통수학1나머지정리와 인수분해AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

계수의 합으로 상수를 정하고 홀수차 계수의 합 구하기

문제

다항식 $( x ^{2} + kx + 2 ) ^{3}$ 을 전개하여 정리하면 $a _{0} + a _{1} x + a _{2} x ^{2} + \cdots + a _{6} x ^{6}$ 이고 $a _{0} + a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{6} = 64$ 일 때, $a _{1} + a _{3} + a _{5}$ 의 값은? (단, $k$ 는 실수) [4점] ① $24$ ② $28$ ③ $32$ ④ $36$ ⑤ $40$

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②

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해설

$f ( x ) = ( x ^{2} + kx + 2 ) ^{3}$ 이라 하면 $f ( 1 ) = ( 3 + k ) ^{3} = a _{0} + a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{6} = 64$ $k$ 는 실수이므로 $3 + k = 4$ , 즉 $k = 1$ $f ( - 1 ) = ( 1 - 1 + 2 ) ^{3} = a _{0} - a _{1} + a _{2} - a _{3} + a _{4} - a _{5} + a _{6} = 8$ $f ( 1 ) - f ( - 1 )$ 에서 $2 ( a _{1} + a _{3} + a _{5} ) = 64 - 8 = 56$ 따라서 $a _{1} + a _{3} + a _{5} = 28$ ②

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