경우가 나뉜 수열 합

등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하자. $a > 0$, $d < - 1$이므로 $n {\leq} k$일 때 $a _{n} {\geq} 0$, $n {\geq} k + 1$일 때 $a _{n} < 0$인 자연수 $k$가 유일하게 존재한다. $n {\leq} k$일 때, $a _{n} {\geq} 0$, $\displaystyle b _{n} = a _{n+1} - \frac{n}{2}$이므로 $\displaystyle b _{1} = a _{2} - \frac{1}{2}$, $b _{2} = a _{3} - 1$, $\cdots$, $\displaystyle b _{k} = a _{k+1} - \frac{k}{2}$ 따라서 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 $n = 1 , 2 , 3 , \cdots , k - 1$일 때, $\displaystyle b _{n+1} - b _{n} = d - \frac{1}{2}$을 만족시킨다. $n {\geq} k + 1$일 때, $a _{n} < 0$, $\displaystyle b _{n} = a _{n} + \frac{n}{2}$이므로 $\displaystyle b _{k+1} = a _{k+1} + \frac{k + 1}{2}$, $\displaystyle b _{k+2} = a _{k+2} + \frac{k + 2}{2}$, $\displaystyle b _{k+3} = a _{k+3} + \frac{k + 3}{2}$, $\cdots$ 따라서 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 $n = k + 1 , k + 2 , k + 3 , \cdots$일 때, $\displaystyle b _{n+1} - b _{n} = d + \frac{1}{2}$을 만족시킨다. 즉, $n {\leq} k - 1$일 때, $\displaystyle d - \frac{1}{2} < 0$이므로 $b _{n} > b _{n+1}$, $n {\geq} k + 1$일 때, $\displaystyle d + \frac{1}{2} < 0$이므로 $b _{n} > b _{n+1}$, $n = k$일 때, $\displaystyle b _{k+1} - b _{k} = \left( a _{k+1} + \frac{k + 1}{2} \right) - \left( a _{k+1} - \frac{k}{2} \right)$$\displaystyle = k + \frac{1}{2} > 0$ 이므로 $b _{n} < b _{n+1}$ 그러므로 $n = k$일 때만 $b _{n} < b _{n+1}$이다. 조건 (가)에서 $b _{5} < b _{6}$이므로 $k = 5$이다. 그러므로 $\displaystyle b _{n} = {\begin{cases} a _{n + 1} - \frac{n}{2} & ( n \leq 5 ) \\ a _{n} + \frac{n}{2} & ( n \geq 6 ) \end{cases}}$ 조건 (나)에 의하여 $S _{5} = b _{1} + b _{2} + b _{3} + b _{4} + b _{5}$ $\displaystyle = \frac{5 ( b _{1} + b _{5} )}{2} = \frac{5}{2} \times \left\{ \left( a _{2} - \frac{1}{2} \right) + \left( a _{6} - \frac{5}{2} \right) \right\}$ $\displaystyle = \frac{5}{2} \times ( 2 a + 6 d - 3 ) = 0$ 즉, $2 a + 6 d - 3 = 0$ $\cdots$ ㉠ $S _{9} - S _{5} = b _{6} + b _{7} + b _{8} + b _{9}$ $\displaystyle = \frac{4 ( b _{6} + b _{9} )}{2} = \frac{4}{2} \times \left\{ ( a _{6} + 3 ) + \left( a _{9} + \frac{9}{2} \right) \right\}$ $\displaystyle = 2 \times \left( 2 a + 13 d + \frac{15}{2} \right) = 0$ 즉, $\displaystyle 2 a + 13 d + \frac{15}{2} = 0$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $a = 6$, $\displaystyle d = - \frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle a _{n} = - \frac{3}{2} n + \frac{15}{2}$ $S _{9} = 0$, $\displaystyle b _{10} = a _{10} + 5 = - \frac{15}{2} + 5 = - \frac{5}{2}$ $n {\geq} 6$일 때, 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 $\displaystyle b _{n+1} - b _{n} = d + \frac{1}{2} = - 1$을 만족시키므로 $S _{n} = S _{9} + ( b _{10} + b _{11} + b _{12} + \cdots + b _{n} )$ $\displaystyle = 0 + \frac{( n - 9 ) \left\{ - 5 + ( n - 10 ) ( - 1 ) \right\}}{2}$ $\displaystyle = - \frac{( n - 5 ) ( n - 9 )}{2}$ ($n {\geq} 10$) $S _{n} {\leq} - 70$을 만족시키는 $n$의 값의 범위는 $n {\geq} 19$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $19$ [참고] $\displaystyle b _{n} = \begin{cases} 6 - 2 n & ( n {\leq} 5 ) \\ \frac{15}{2} - n & ( n {\geq} 6 ) \end{cases}$ $\displaystyle S _{n} = \begin{cases} n ( 5 - n ) & ( n {\leq} 5 ) \\ - \frac{1}{2} ( n - 5 ) ( n - 9 ) & ( n {\geq} 6 ) \end{cases}$ 이므로 $n {\leq} 9$일 때, $S _{n} {\geq} 0$