구와 z축 교점

[출제의도] 구의 방정식을 이용하여 구와 좌표축의 관계에 대한 문제를 해결한다. 좌표공간의 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표를 $( a , b , c )$라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}}} = 7$이므로 $\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} = 7$ $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 49$ $\cdots \cdots$ ㉠ 구 $S$의 방정식은 $( x - a ) ^{2} + ( y - b ) ^{2} + ( z - c ) ^{2} = 64$ $xy$평면 위의 모든 점의 $z$좌표는 $0$이므로 구 $S$와 $xy$평면이 만나서 생기는 원 $C$의 반지름의 길이는 $\displaystyle \sqrt{64 - c ^{2}}$이다. 원 $C$의 넓이가 $25 \pi$이므로 $64 - c ^{2} = 25$, $c ^{2} = 39$ ㉠에서 $a ^{2} + b ^{2}$$= 49 - c ^{2}$$= 49 - 39$$= 10$ 점 ${\mathrm{A}}$에서 $z$축에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 점 ${\mathrm{H}}$의 좌표는 $( 0 , 0 , c )$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}$$\displaystyle = \sqrt{( a - 0 ) ^{2} + ( b - 0 ) ^{2} + ( c - c ) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{10}$ 점 ${\mathrm{B}}$는 구 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 8$ 직각삼각형 ${\mathrm{ABH}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} = \sqrt{{\mathrm{AB}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{64 - 10}$$\displaystyle = \sqrt{54}$$\displaystyle = 3 \sqrt{6}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$$\displaystyle = 2 \times \overline{\mathrm{BH}}$$\displaystyle = 2 \times 3 \sqrt{6}$$\displaystyle = 6 \sqrt{6}$