구와 평면이 만나는 원

원 $O$의 중심을 $xy$평면에서 원점으로 하고, 직선 $\mathrm{AB}$를 $x$축으로 하는 원의 방정식은 $O : x ^{2} + y ^{2} = 16$ (단, $- 4 \leq x \leq 4$) $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 원 위의 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( x , y \right)}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$, 점 $\mathrm{R}$에서 선분 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자.

$\mathrm{\angle} BAC = \theta$라 하면 $\displaystyle \sin \theta = \frac{\mathrm{\overline{BC}}}{\overline{AC}} = \frac{3}{5}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AR}} = \mathit{4} - x$, $\displaystyle \mathrm{\overline{RH}} = \mathrm{\overline{AR}} \times \sin \theta$$\displaystyle = \frac{3}{5} \left( 4 - x \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = 4$이므로 직각삼각형 $\mathrm{PRH}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} ^{2} + {\overline{RH}} ^{2} = {\overline{PH}} ^{2}$, $\displaystyle y ^{2} + \frac{9}{25} \left( 4 - x \right) ^{2} = 16$ $\displaystyle 16 - x ^{2} + \frac{9}{25} \left( x ^{2} - 8 x + 16 \right) = 16$ ($\because$ ㉠) $2 x ^{2} + 9 x - 18 = 0$, $\left( 2 x - 3 \right) \left( x + 6 \right) = 0$ $\therefore$ $\displaystyle x = \frac{3}{2}$ ($\because$ ㉠) 이므로 $\displaystyle y ^{2} = 16 - \frac{9}{4}$, $\displaystyle y = \pm \frac{\sqrt{55}}{2}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{2} , \frac{\sqrt{55}}{2} \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{3}{2} , - \frac{\sqrt{55}}{2} \right)$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \sqrt{55}$