구의 접선과 xy평면

[출제의도] 공간도형과 이차곡선에 관한 수학 내적 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 꼭짓점이 $\mathrm{A}$이고 구에 접하는 접선들로 이루어진 직원뿔을 $xy$평면으로 자른 단면은 타원이므로, 두 점 $\mathrm{P} , Q$는 타원 위의 점이다. 따라서, 타원의 장축은 직선 $x = y , z = 0$ 위에 존재하고, 장축의 한 끝점은 원점이다. 그림과 같이 원점을 $\mathrm{O}$, 구의 중심을 $\mathrm{O}'$, $\mathrm{O}'$에서 $z$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{T}$, 원점이 아닌 장축의 다른 끝점을 $\mathrm{R}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}$과 구의 접점을 $\mathrm{U}$, 점 $\mathrm{T}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}'}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\mathrm{O}'$

$\displaystyle \overline{\mathrm{OT}} = 1 , \overline{\mathrm{O}' T} = \sqrt{2} , \overline{\mathrm{AT}} = \overline{\mathrm{AU}} = 2 , \overline{\mathrm{AO}'} = \sqrt{6}$ 이므로 $\angle O' AT = \alpha , \angle RAO = 2 \alpha$ 라고 하면 $\displaystyle \tan \alpha = \frac{\overline{O' T}}{\overline{AT}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan ^{2} \alpha} = 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle M = \overline{OR} = \overline{OA} \tan 2 \alpha = 6 \sqrt{2}$ $M ^{2} = 72$