구간에서 항상 성립하는 부등식과 최솟값

$f \left( x \right) = 2 ax ^{3} - 3 \left( a + 1 \right) x ^{2} + 6 x - 1$라 하면 $f' \left( x \right)$$= 6 ax ^{2} - 6 \left( a + 1 \right) x + 6$$= \left( ax - 1 \right) \left( x - 1 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = \frac{1}{a}$ 또는 $x = 1$ (ⅰ) $0 < a < 1$일 때 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

즉 $x = 1$에서 $f \left( x \right)$는 극대이고 $\displaystyle x = \frac{1}{a}$에서 극소이다. 이때 $0 \leq x \leq 1$에서 부등식 $f \left( x \right) \leq 0$이 성립하려면 $f \left( 1 \right) \leq 0$이 성립해야 하므로 $2 a \times 1 ^{3} - 3 \left( a + 1 \right) \times 1 ^{2} + 6 \times 1 - 1 \leq 0$에서 $a \geq 2$ 즉 조건을 만족시키는 $a$의 값은 존재하지 않는다. (ⅱ) $a = 1$일 때 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

즉 실수 전체의 집합에서 함수 $f \left( x \right)$는 증가한다. 이때 $0 \leq x \leq 1$에서 부등식 $f \left( x \right) \leq 0$이 성립하려면 $f \left( 1 \right) \leq 0$이 성립해야 하므로 $2 a \times 1 ^{3} - 3 \left( a + 1 \right) \times 1 ^{2} + 6 \times 1 - 1 \leq 0$에서 $a \geq 2$ 즉 조건을 만족시키는 $a$의 값은 존재하지 않는다. (ⅲ) $a > 1$일 때 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

즉 $\displaystyle x = \frac{1}{a}$에서 $f \left( x \right)$는 극대이고 $x = 1$에서 극소이다. 이때 $0 \leq x \leq 1$에서 부등식 $f \left( x \right) \leq 0$이 성립하려면 $\displaystyle f \left( \frac{1}{a} \right) \leq 0$이 성립해야 하므로 $\displaystyle 2 a \times \left( \frac{1}{a} \right) ^{3} - 3 \left( a + 1 \right) \left( \frac{1}{a} \right) ^{2} + 6 \times \left( \frac{1}{a} \right) - 1 = - \frac{1}{a ^{2}} + \frac{3}{a} - 1$ $a ^{2} - 3 a + 1 \geq 0$, $\displaystyle a \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ 또는 $\displaystyle a \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ 따라서 조건을 만족시키는 $a$의 값의 범위는 $\displaystyle a \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ 이상에서 주어진 부등식을 만족시키는 양수 $a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$이다.