g(x)={f(x)+k−f(x)(x<−1또는x>1)(−1≤x≤1)
에서 g′(x)={f′(x)−f′(x)(x<−1또는x>1)(−1<x<1)
조건 (가)를 만족시키기 위해서는 f′(x)의 최고차항의 계수는 음수이고,
f′(−1)=f′(1)=0 ⋯⋯ ㉠
이다.
모든 실수 a에 대하여 x→a+limx−ag(x)−g(a)의 값이 존재하므로
(ⅰ) x=1에서
g(1)=−f(1), x→1+limg(1)=x→1+lim{f(x)+k}
이므로 −f(1)=f(1)+k, k=−2f(1) ⋯⋯ ㉡
(ⅱ) x=−1에서
g(−1)=−f(−1), x→−1+limg(1)=x→−1+lim{−f(x)}
이므로 이는 항상 성립한다.
이때 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a=0)라 놓으면
f′(x)=3ax2+2bx+c
f′(0)=6이므로 f′(0)=c=6
㉠에서 방정식 f′(x)=3ax2+2bx+6=0의 두 근이 −1, 1이므로 근과 계수의 관계에서
−3a2b=0, 3a6=−1
따라서 a=−2, b=0이므로
f(x)=−2x3+6x+d
조건 (나)를 만족하는 함수 y=g(x)의 그래프는 다음과 같이
g(−1)=−f(−1)=13
이고,
x→−1−limg(x)=x→−1−lim{f(x)+k}
=f(−1)+k
=−13+k<13
즉, k<26을 만족해야 한다. ⋯⋯ ㉢
g(−1)=−f(−1)=13, 즉 f(−1)=−13에서
f(−1)=2−6+d=−13, d=−9
∴f(x)=−2x3+6x−9
㉡에서 k=−2f(1)이므로
k=−2(−2+6−9)=10
k=10이므로 ㉢을 만족한다.
∴ k+f(21)=10+(−425)=415