구간별 삼차함수 교점

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-다항함수의 미분법 $f ( x ) = 2 x ^{3} - 3 ax ^{2} + 9$에서 $f' ( x ) = 6 x ^{2} - 6 ax$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = a$이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 그림과 같다. (ⅰ) $a < 0$일 때

(ⅱ) $a > 0$일 때

$x < 0$일 때, $g ( x ) = - f ( x ) + 18$에서 $\displaystyle \frac{g ( x ) + f ( x )}{2} = 9$이므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $y = 9$에 대하여 대칭이다. 또한, 조건 (나)에서 함수 $g ( x )$의 극솟값이 양수이므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 그림과 같다. (ⅲ) $a < 0$일 때 (ⅳ) $a > 0$일 때

따라서 곡선 $y = g ( x )$와 직선 $y = x$의 접점의 $x$좌표를 $t$라 하면 $t > 0$이므로 곡선 $y = g ( x )$ 위의 점 $( t , 2 t ^{3} - 3 at ^{2} + 9 )$에서의 접선의 방정식은 $y = ( 6 t ^{2} - 6 at ) ( x - t ) + 2 t ^{3} - 3 at ^{2} + 9$ $= ( 6 t ^{2} - 6 at ) x - 4 t ^{3} + 3 at ^{2} + 9$ 이 접선의 방정식은 $y = x$와 같으므로 $6 t ^{2} - 6 at = 1 \cdots \text{㉠}$ $- 4 t ^{3} + 3 at ^{2} + 9 = 0 \cdots \text{㉡}$ ㉠에서 $\displaystyle at = \frac{6 t ^{2} - 1}{6}$이므로 ㉡에 대입하면 $\displaystyle - 4 t ^{3} + 3 \left( \frac{6 t ^{2} - 1}{6} \right) \times t + 9 = 0$ $\displaystyle - t ^{3} - \frac{t}{2} + 9 = 0$, $2 t ^{3} + t - 18 = 0$ $( t - 2 ) ( 2 t ^{2} + 4 t + 9 ) = 0$에서 $t = 2$ 따라서 $k = t = 2$이고 $\displaystyle at = \frac{6 t ^{2} - 1}{6}$에서 $\displaystyle a = \frac{23}{12}$이므로 $\displaystyle 12 ( a + k ) = 12 \times \left( \frac{23}{12} + 2 \right) = 47$