구간별 사인함수 적분

(i) $a _{1} \leq x \leq a _{2}$ (즉, $- 1 \leq x \leq 1$)일 때, $f ( x ) = \sin 2 \pi x$ (ii) $a _{2} \leq x \leq a _{3}$ (즉, $\displaystyle 1 \leq x \leq 2 - \frac{1}{2}$)일 때, $f ( x ) = \sin 2 ^{2} \pi x$ (iii) $a _{3} \leq x \leq a _{4}$ (즉, $\displaystyle 2 - \frac{1}{2} \leq x \leq 2 - \frac{1}{2 ^{2}}$)일 때, $f ( x ) = \sin 2 ^{3} \pi x$ $\vdots$ 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle F ( t ) = \int _{0} ^{t} {} f ( x ) dx$라고 하면 $F' ( t ) = f ( t )$이고 $\displaystyle \int _{0} ^{a_{2}} f ( t ) dt = 0 , \int _{a_{n}} ^{a_{n+1}} f ( t ) dt = 0 , n \geq 2$이 성립하므로 $y = F ( x )$의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

방정식 $\displaystyle \int _{\alpha} ^{t} f ( x ) dx = 0$을 만족시키는 $t ( 0 < t < 2 )$의 값의 개수를 구하는 것은 방정식 $F ( t ) = F ( \alpha )$ 을 만족하는 $t$의 값의 개수를 구하는 것과 같다. 위의 그림에서 극댓값을 크기순으로 나열하면 $\displaystyle \frac{1}{\pi} , \frac{1}{2 \pi} , \frac{1}{2 ^{2} \pi} , \cdots$이므로 $t ( 0 < t < 2 )$의 개수가 103개가 되기 위해서는 $F ( \alpha )$의 값이 $52$번 째 극댓값과 같을 때이다. 따라서 $\displaystyle F ( \alpha ) = \frac{1}{2 ^{51} \pi}$ 이어야 한다. 즉, $\displaystyle \int _{0} ^{\alpha} {} f ( x ) dx = \frac{1}{2 ^{51} \pi}$이고 $- 1 < \alpha < 0$이므로 $\rightarrow$$\displaystyle \int _{0} ^{\alpha} {\sin 2 \pi x} dx = \frac{1}{2 ^{51} \pi}$ $\rightarrow$ $\displaystyle \left[ - \frac{1}{2 \pi} \cos 2 \pi x \right] _{0} ^{\alpha} = \frac{1}{2 ^{51} \pi}$ $\rightarrow$ $1 - \cos 2 \pi \alpha = 2 ^{- 50}$ 그러므로 $\log _{2} ( 1 - \cos 2 \pi \alpha ) = - 50$