구간별 이차함수 조건

$- x ^{2} + ax - b = - \left\{ \left( - x \right) ^{2} + a \left( - x \right) + b \right\}$이므로 함수 $y = x ^{2} + ax + b \left( x < 0 \right)$의 그래프와 함수 $y = - x ^{2} + ax - b \left( x > 0 \right)$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. $\displaystyle x ^{2} + ax + b = \left( x + \frac{a}{2} \right) ^{2} - \frac{a ^{2}}{4} + b$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다. (ⅰ) $a \leq 0$인 경우

$x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $t$가 존재하지 않으므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a > 0$인 경우 ① $\displaystyle - \frac{a ^{2}}{4} + b > 0$인 경우

$x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $t$가 무수히 많이 존재하므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. ② $\displaystyle - \frac{a ^{2}}{4} + b = 0$인 경우

$x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $t$가 무수히 많이 존재하므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. ③ $\displaystyle - b < - \frac{a ^{2}}{4} + b < 0$인 경우

$x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $t$가 무수히 많이 존재하므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. ④ $\displaystyle - \frac{a ^{2}}{4} + b = - b$인 경우

$x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $t$는 $t = - b$하나만 존재하므로 조건 (가)를 만족시킨다. ⑤ $\displaystyle - \frac{a ^{2}}{4} + b < - b$인 경우

$x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $t$는 두 개 존재하므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle - \frac{a ^{2}}{4} + b = - b$ $\displaystyle b = \frac{a ^{2}}{8}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 $f \left( 0 \right) f \left( 1 \right) \geq 0$, $f \left( - 1 \right) f \left( 0 \right) \geq 0$이어야 한다. $f \left( 0 \right) > 0$이므로 $f \left( 1 \right) \geq 0$, $f \left( - 1 \right) \geq 0$이어야 하고 $f \left( - 1 \right) = - f \left( 1 \right)$이므로 $f \left( 1 \right) = 0$이 되어야 한다. $f \left( 1 \right) = - 1 + a - b = 0$에서 $b = a - 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 $\displaystyle \frac{a ^{2}}{8} = a - 1$ $a ^{2} - 8 a + 8 = 0$, $\displaystyle a = 4 \pm 2 \sqrt{2}$ $x > 0$일 때, $f \left( x \right) = - x ^{2} + ax - b = - x ^{2} + ax - a + 1$이므로 방정식 $- x ^{2} + ax - a + 1 = - \left( x - 1 \right) \left( x - a + 1 \right) = 0$의 두 근은 $1$, $a - 1$이다. $\displaystyle a = 4 + 2 \sqrt{2}$즉, $\displaystyle a - 1 = 3 + 2 \sqrt{2}$이면 $\displaystyle 5 < 3 + 2 \sqrt{2} < 6$이고 $x > 0$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = - \left( x - 1 \right) \left( x - 3 - 2 \sqrt{2} \right)$이므로 $\displaystyle f \left( 5 \right) = - \left( 5 - 1 \right) \times \left\{ 5 - \left( 3 + 2 \sqrt{2} \right) \right\} > 0$ $\displaystyle f \left( 6 \right) = - \left( 6 - 1 \right) \times \left\{ 6 - \left( 3 + 2 \sqrt{2} \right) \right\} < 0$이다. 따라서 $f \left( 5 \right) f \left( 5 + 1 \right) < 0$이 되어 조건 (나)를 만족시키지 않는다. $\displaystyle a = 4 - 2 \sqrt{2}$즉, $\displaystyle a - 1 = 3 - 2 \sqrt{2}$이면 $\displaystyle 0 < 3 - 2 \sqrt{2} < 1$이고 $x > 0$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = - \left( x - 1 \right) \left( x - 3 + 2 \sqrt{2} \right)$이므로 $f \left( x \right) < 0$을 만족시키는 양수 $x$의 값의 범위는 $\displaystyle 0 < x < 3 - 2 \sqrt{2}$ 또는 $x > 1$이다. 따라서 $k > 1$인 모든 정수 $k$에 대하여 $f \left( k \right) < 0$이므로 $f \left( k \right) f \left( k + 1 \right) > 0$이다. 또한 $f \left( 1 \right) = 0$이므로 $k = 0$이면 $f \left( k \right) f \left( k + 1 \right) = f \left( 0 \right) f \left( 1 \right) = 0$, $k = 1$이면 $f \left( k \right) f \left( k + 1 \right) = f \left( 1 \right) f \left( 2 \right) = 0$이다. 한편, $x < 0$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = \left( x + 1 \right) \left( x + 3 - 2 \sqrt{2} \right)$이므로 $f \left( x \right) > 0$을 만족시키는 음수 $x$의 값의 범위는 $x < - 1$ 또는 $\displaystyle - 3 + 2 \sqrt{2} < x < 0$이다. 따라서 $k + 1 < - 1$즉, $k < - 2$인 모든 정수 $k$에 대하여 $f \left( k + 1 \right) > 0$이므로 $f \left( k \right) f \left( k + 1 \right) > 0$이다. 또한 $f \left( - 1 \right) = 0$이므로 $k = - 1$이면 $f \left( k \right) f \left( k + 1 \right) = f \left( - 1 \right) f \left( 0 \right) = 0$이다. $k = - 2$이면 $f \left( k \right) f \left( k + 1 \right) = f \left( - 2 \right) f \left( - 1 \right) = 0$이다. 그러므로 $\displaystyle a = 4 - 2 \sqrt{2}$일 때 모든 정수 $k$에 대하여 $f \left( k \right) f \left( k + 1 \right) \geq 0$이므로 조건을 만족시킨다. $f \left( 2 \right)$$= - 4 + 2 a - b$ $= - 4 + 2 a - \left( a - 1 \right)$ $\displaystyle = a - 3 = 1 - 2 \sqrt{2}$ 따라서 $p = 1$, $q = - 2$이고 $p - q = 1 - \left( - 2 \right) = 3$