구간별 도함수 적분

[출제의도] 여러 가지 적분법 이해하기 함수 $f' \left( x \right)$를 적분하면 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} x ^{2} + 3 x + C _{1 _{{} _{{} _{}}}} & \left( x < 1 \right) _{{} _{{} _{}}} \\ x \ln x - x + C _{2} & \left( x > 1 \right) \end{cases}}$ (단, $C _{1}$, $C _{2}$는 적분상수) $f \left( e \right) = e \ln e - e + C _{2} = 2$이므로 $C _{2} = 2$ 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f \left( x \right)} = f \left( 1 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f \left( x \right)} = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f \left( x \right)} = 1 + 3 + C _{1}$ $1 = 1 + 3 + C _{1}$이므로 $C _{1} = \mathit{-} 3$ $\therefore$ $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} x ^{2} + 3 x - 3 _{{} _{{} _{{} _{}}}} & \left( x \leq 1 \right) _{{} _{{} _{}}} \\ x \ln x - x + 2 & \left( x > 1 \right) \end{cases}}$ 따라서 $f \left( - 6 \right) = 36 - 18 - 3 = \mathit{15}$