구간 적분 함수의 최솟값

[출제의도] 정적분 문제해결하기 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 1$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\left( 3 x ^{2} + ax + b \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {2 x}$ $a + b = - 1$ $g \left( 0 \right) + g \left( 1 \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {\left( 3 x ^{2} + ax + b \right)} dx + \int _{1} ^{2} {2 xdx}$ $\displaystyle = \left[ x ^{3} + \frac{1}{2} ax ^{2} + bx \right] _{0} ^{1} + \left[ x ^{2} \right] _{1} ^{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2} a + b + 4 = \frac{7}{2}$ $\therefore a = - 1$, $b = 0$ $\displaystyle g \left( t \right) = \int _{t} ^{t + 1} {f \left( x \right)} dx$에서 ⅰ) $t < 0$일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{t} ^{t + 1} {\left( 3 x ^{2} - x \right)} dx = \left[ x ^{3} - \frac{1}{2} x ^{2} \right] _{t} ^{t + 1}$$\displaystyle = 3 t ^{2} + 2 t + \frac{1}{2}$ ⅱ) $0 \leq t < 1$일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{t} ^{1} {\left( 3 x ^{2} - x \right)} dx + \int _{1} ^{t + 1} {2 x} dx$ $\displaystyle = \left[ x ^{3} - \frac{1}{2} x ^{2} \right] _{t} ^{1} + \left[ x ^{2} \right] _{1} ^{t + 1}$ $\displaystyle = - t ^{3} + \frac{3}{2} t ^{2} + 2 t + \frac{1}{2}$ ⅲ) $t \geq 1$일 때 $\displaystyle g \left( t \right) = \int _{t} ^{t + 1} {2 x} dx = \left[ x ^{2} \right] _{t} ^{t + 1} = 2 t + 1$ $\therefore$$\displaystyle g \left( t \right) = {\begin{cases} 3 t ^{2} + 2 t + \frac{1}{2 _{{} _{}}} & \left( t < 0 \right) _{{} _{}} \\ - t ^{3} + \frac{3}{2} t ^{2} + 2 t + \frac{1}{2 _{{} _{}}} & \left( 0 \leq t < 1 \right) _{{} _{}} \\ 2 t + 1 ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} _{{} _{}} & \left( t \geq 1 \right) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} \end{cases}}$ $\displaystyle g' \left( t \right) = {\begin{cases} 6 t + 2 _{{} _{{} _{}}} & \left( t < 0 \right) _{{} _{{} _{}}} \\ - 3 t ^{2} + 3 t + 2 ^{{} ^{}} _{{} _{{} _{}}} & \left( 0 < t < 1 \right) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{}} \\ 2 ^{{} ^{{} ^{}}} _{{} _{{} _{}}} & \left( t > 1 \right) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} \end{cases}}$ $g' \left( t \right) = 0$인 $t$의 값은 $\displaystyle - \frac{1}{3}$이다. 함수 $g \left( t \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $g \left( t \right)$는 $\displaystyle t = - \frac{1}{3}$에서 최솟값을 가지므로 따라서 $\displaystyle g \left( - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{6}$이고 $120 k = 20$