기하공간벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구 위 점 자취 길이

문제

좌표공간에서 중심이 원점이고 직선 x+1=2−y=z{x + 1} = {2 - y} = z와 서로 다른 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}에서 만나는 구와 이 구 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}가 있다. 두 벡터 AP⃗\mathrm{\vec{AP}}, AB⃗\mathrm{\vec{AB}}에 대하여 AP⃗∙AB⃗=∣AB⃗∣2\mathrm{\vec{AP}} \bullet \vec{AB} = | {\vec{AB}} | ^{2}이 성립할 때, 점 P\mathrm{P}가 나타내는 도형의 길이는? [4점] ①π\pi②2π2 \pi③22π\displaystyle 2 \sqrt{2} \pi④23π\displaystyle 2 \sqrt{3} \pi⑤4π4 \pi

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③

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해설

[출제의도] 벡터의 내적을 구할 수 있는지 묻는 문제이다. 두 벡터 AP⃗\mathrm{\vec{AP}}, AB⃗\mathrm{\vec{AB}}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하자. AP⃗∙AB⃗=\mathrm{\vec{AP}} \bullet \vec{AB} =∣AP⃗∣∣AB⃗∣cos⁡θ=∣AB⃗∣2\mathrm{\left| \vec{AP} \right|} \left| \vec{AB} \right| \cos \theta = \left| \vec{\mathrm{AB}} \right| ^{2}에서 ∣AP⃗∣cos⁡θ=∣AB⃗∣\mathrm{\left| \vec{AP} \right|} \cos \theta = \left| \vec{\mathrm{AB}} \right|가 성립하므로 점 P\mathrm{P}는 점 B\mathrm{B}를 지나고 직선 AB\mathrm{AB}에 수직인 평면과 구의 교선인 원 위에 있다. 이때, 이 원의 반지름의 길이는 구의 중심과 직선 AB\mathrm{AB} 사이의 거리와 같다. 한편, 원점 O\mathrm{O}에서 직선 x+1=2−y=z{x + 1} = {2 - y} = z에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}(t−1,2−t,t)( t - 1 , 2 - t , t )라 하면 (t−1,2−t,t)∙(1,−1,1)=0( t - 1 , 2 - t , t ) \bullet ( 1 , - 1 , 1 ) = 0에서 t=1t = 1이다. 이때, H(0,1,1)\mathrm{H} ( 0 , 1 , 1 )이므로 OH‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \sqrt{2}이다. 따라서 구하는 도형의 길이는 22π\displaystyle 2 \sqrt{2} \pi이다.

태그

#벡터의 내적#구#직선의 방정식

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