곱이 주어진 두 삼차함수

$f ( x ) g ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 ) ^{2} ( x - 3 ) ^{2}$에서 $g ( x )$가 $x = 2$에서 극댓값을 가지므로 $g ( x )$는 $( x - 2 ) ^{2}$을 인수로 갖고, $g ( x )$의 최고차항의 계수가 양의 실수이므로 삼차함수의 개형을 통해 $( x - 3 )$을 인수로 가짐을 알 수 있다. ($g ( x )$가 $( x - 1 )$을 인수로 가질 때, $x = 2$에서 극솟값을 갖게 된다.) $g ( x )$의 최고차항의 계수가 $3$이므로 $g ( x ) = 3 ( x - 1 ) ^{2} ( x - 3 )$이다. $f ( x ) g ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 ) ^{2} ( x - 3 ) ^{2}$에서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{3} ( x - 1 ) ^{2} ( x - 3 )$이다. $f ( x )$를 미분하면 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{2}{3} ( x - 1 ) ( x - 3 ) + \frac{1}{3} ( x - 1 ) ^{2}$이므로 $\displaystyle f' ( 0 ) = \frac{2}{3} ( - 1 ) ( - 2 ) + \frac{1}{3} ( - 1 ) ^{2} = \frac{7}{3}$이다. 그러므로 $p = 3 , q = 7$이 되고 $p + q = 3 + 7 = 10$이다.