곱이 12의 배수가 아닌 최대 집합

$12 = 2 ^{2} \times 3$ 이므로 곱이 $12$ 의 배수가 되려면 인수 $3$ 이 있어야 한다. 집합에 $3$ 의 배수를 넣는지가 갈림길이다. 서로 다른 두 수 $x$, $y$ 의 곱이 $12$ 의 배수이려면 두 수가 가진 인수 $2$ 의 개수의 합이 $2$ 이상이고, 둘 중 적어도 하나가 $3$ 의 배수이어야 한다. $60$ 이하의 자연수는 $4$ 의 배수 $15$ 개, $4$ 의 배수가 아닌 짝수 $15$ 개, 홀수 $30$ 개로 나뉜다. (i) $X$ 가 $3$ 의 배수를 갖지 않는 경우 두 원소의 곱이 $3$ 의 배수가 아니므로 조건을 항상 만족시킨다. $60$ 이하의 $3$ 의 배수는 $20$ 개이므로 원소의 개수는 $60 - 20 = 40$ (ii) $X$ 가 $3$ 의 배수 $m$ 을 갖는 경우 $m$ 이 $12$ 의 배수이면 $m$ 과 다른 어떤 수의 곱도 $12$ 의 배수이므로 $X$ 의 원소는 $1$ 개뿐이다. $m$ 이 $4$ 의 배수가 아닌 짝수이면 짝수 $x$ 에 대하여 $mx$ 가 $12$ 의 배수이므로 $m$ 밖의 원소는 모두 홀수이어야 하고, 원소의 개수는 $30 + 1 = 31$ 이하이다. $m$ 이 홀수이면 $4$ 의 배수 $x$ 에 대하여 $mx$ 가 $12$ 의 배수이므로 $4$ 의 배수 $15$ 개는 모두 원소가 될 수 없다. 남은 $45$ 개 중에서 $6$, $18$, $30$, $42$, $54$ 를 넣으면 바로 위의 경우에 따라 원소가 $31$ 개 이하이므로, 이 $5$ 개를 빼면 원소의 개수는 $45 - 5 = 40$ 이하이다. 그러므로 원소의 개수의 최댓값은 $40$ 이다. 실제로 $3$ 의 배수가 아닌 $40$ 개의 수를 모두 모은 집합은 조건을 만족시킨다. 따라서 집합 $X$ 의 원소의 개수는 $40$ 이다.