곱 꼴 점화식에서 항 번호 거꾸로 구하기

$\displaystyle \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n + 3}{n}$이므로 $n \geq 2$일 때 $\displaystyle a _{n} = a _{1} \times \frac{a _{2}}{a _{1}} \times \frac{a _{3}}{a _{2}} \times \cdots \times \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$ $\displaystyle = 1 \times \frac{4}{1} \times \frac{5}{2} \times \frac{6}{3} \times \cdots \times \frac{n + 2}{n - 1}$ $\displaystyle = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{1 \times 2 \times 3} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6}$ $a _{1} = 1$도 이 식을 만족시키므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6}$ $a _{n} = 120$에서 $n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 720 = 8 \times 9 \times 10$ $n ( n + 1 ) ( n + 2 )$는 $n$이 커질수록 커지므로 $n = 8$ 따라서 답은 ③이다.