공통접선 넓이

[출제의도] 정적분을 이용하여 곡선과 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다. $f ( x ) = ax ^{2}$, $g ( x ) = \ln x$에서 두 함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프가 만나는 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $k$라 하면 $ak ^{2} = \ln k$ …… ㉠ $f' ( x ) = 2 ax$, $\displaystyle g' ( x ) = \frac{1}{x}$ 두 곡선 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기가 서로 같으므로 $\displaystyle 2 a k = \frac{1}{k}$ $2 a k ^{2} = 1$ …… ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle \ln k = \frac{1}{2}$, $\displaystyle k = \sqrt{e}$ $\displaystyle a = \frac{1}{2 e}$ $\displaystyle f ( x ) = \frac{x ^{2}}{2 e}$이고 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \sqrt{e} , \frac{1}{2} \right)$이므로 두 함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{\sqrt{e}} {\frac{x ^{2}}{2 e}} dx - \int _{1} ^{\sqrt{e}} {\ln x} dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{x ^{3}}{6 e} \right] _{0} ^{\sqrt{e}} - \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} x \ln x \end{array} \right] _{1} ^{\sqrt{e}} - \int _{1} ^{\sqrt{e}} {\left( x \times \frac{1}{x} \right) dx} \end{array} \right\}$ $\displaystyle = \left[ \frac{x ^{3}}{6 e} \right] _{0} ^{\sqrt{e}} - \left[ \begin{array}{l} x \ln x \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{1} ^{\sqrt{e}} + \left[ \begin{array}{l} x \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{1} ^{\sqrt{e}}$ $\displaystyle = \left( \frac{\sqrt{e}}{6} - 0 \right) - \left( \frac{\sqrt{e}}{2} - 0 \right) + \left( \sqrt{e} - 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{2 \sqrt{e} - 3}{3}$