공통현과 삼각형의 넓이로 미지수 찾기

실마리: 직선 $\mathrm{AB}$와 원점 사이의 거리를 $d$라 하면 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이가 $d$만으로 정해진다. 두 원의 방정식을 변끼리 빼면 $( x ^{2} + y ^{2} - 25 ) - \left\{ ( x - a ) ^{2} + ( y - 2 a ) ^{2} - 20 \right\} = 0$ $2 ax + 4 ay - 5 a ^{2} - 5 = 0$ 이 직선이 직선 $\mathrm{AB}$이다.

원점과 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리를 $d$라 하면 $\displaystyle d = \frac{5 a ^{2} + 5}{\sqrt{4 a ^{2} + 16 a ^{2}}} = \frac{\sqrt{5} ( a ^{2} + 1 )}{2 a}$ 원 $C _{1}$의 반지름의 길이가 $5$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \sqrt{25 - d ^{2}}$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이가 $10$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{25 - d ^{2}} \times d = 10$ $\displaystyle d \sqrt{25 - d ^{2}} = 10$ 양변을 제곱하여 $d ^{2} = t$로 놓으면 $t ( 25 - t ) = 100$ $t ^{2} - 25 t + 100 = 0$ $( t - 5 ) ( t - 20 ) = 0$이므로 $d ^{2} = 5$ 또는 $d ^{2} = 20$

(i) $d ^{2} = 5$일 때 $\displaystyle \frac{5 ( a ^{2} + 1 ) ^{2}}{4 a ^{2}} = 5$에서 $( a ^{2} + 1 ) ^{2} = 4 a ^{2}$ $a > 0$이므로 $a ^{2} + 1 = 2 a$, 즉 $( a - 1 ) ^{2} = 0$ $a = 1$

(ii) $d ^{2} = 20$일 때 $\displaystyle \frac{5 ( a ^{2} + 1 ) ^{2}}{4 a ^{2}} = 20$에서 $( a ^{2} + 1 ) ^{2} = 16 a ^{2}$ $a > 0$이므로 $a ^{2} + 1 = 4 a$, 즉 $a ^{2} - 4 a + 1 = 0$ $\displaystyle a = 2 + \sqrt{3}$ 또는 $\displaystyle a = 2 - \sqrt{3}$

원 $C _{1}$ 위의 점 중 직선 $\mathrm{AB}$ 위에 있는 점은 원 $C _{2}$ 위의 점이기도 하므로, 두 원이 서로 다른 두 점에서 만날 조건은 $d < 5$이다. $d ^{2} = 5$, $d ^{2} = 20$은 모두 $d < 5$를 만족시키므로 위의 세 값은 모두 조건을 만족시킨다. 따라서 모든 $a$의 값의 합은 $\displaystyle 1 + ( 2 + \sqrt{3} ) + ( 2 - \sqrt{3} ) = 5$