곡선과 선분으로 둘러싸인 넓이의 차

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f \left( x \right)$가 $f \left( 1 \right) = f \left( 2 \right) = 0$ 을 만족시키므로 $f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - k \right)$ ($k$는 상수) 라 할 수 있다. 즉 $f' \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( x - k \right) + \left( x - 1 \right) \left( x - k \right) + \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right)$이고 $f' \left( 0 \right) = - 7$이므로 $2 k + k + 2 = - 7$, $3 k = - 9$, $k = - 3$ $\therefore$ $f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right)$ 이때 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( 3 , 12 \right)}$에 대하여 직선 $\mathrm{OP}$의 방정식은 $y = 4 x$이다. 이때 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 $t$라 하면 주어진 그림에서 곡선 $y = f \left( x \right)$와 $y$축 및 선분 $\mathrm{OQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이가 $A$이고, 곡선 $y = f \left( x \right)$와 선분 $\mathrm{PQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이가 $B$이므로 $B - A$$\displaystyle = \int _{t} ^{3} {} \left\{ 4 x - f \left( x \right) \right\} dx - \int _{0} ^{t} {} \left\{ f \left( x \right) - 4 x \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} \left\{ 4 x - f \left( x \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} \left( - x ^{3} + 11 x - 6 \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{11}{2} x ^{2} - 6 x \end{array} \right] _{0} ^{3}$ $\displaystyle = \frac{45}{4}$