곡선과 직선 사이 넓이

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 12 x + 8$이므로 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\mathrm{B} \left( \mathit{k} , f \left( k \right) \right)$에서의 접선의 방정식은 $y - \left( k ^{3} - 6 k ^{2} + 8 k + 1 \right) = \left( 3 k ^{2} - 12 k + 8 \right) \left( x - k \right)$ 이 직선이 점 $\mathrm{A} \left( 0 , 1 \right)$을 지나므로 $2 k ^{3} - 6 k ^{2} = 2 k ^{2} \left( k - 3 \right) = 0$ 에서 $k > 0$이므로 $k = 3$이고 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $y = \mathit{-} x + 1$ $S _{1}$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} {\left| f \left( x \right) - \left( - x + 1 \right) \right| dx}$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} {\left\{ f \left( x \right) + x - 1 \right\} dx}$ $S _{2}$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} {\left| g \left( x \right) - \left( - x + 1 \right) \right| dx}$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} {\left\{ - g \left( x \right) - x + 1 \right\} dx}$ $S _{1} = S _{2}$에서 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {\left\{ f \left( x \right) + x - 1 \right\} dx} = \int _{0} ^{3} {\left\{ - g \left( x \right) - x + 1 \right\} dx}$ $\displaystyle \int _{0} ^{3} {g \left( x \right) dx}$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} {\left\{ - f \left( x \right) - 2 x + 2 \right\} dx}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {\left( - x ^{3} + 6 x ^{2} - 10 x + 1 \right) dx}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{4} x ^{4} + 2 x ^{3} - 5 x ^{2} + x \right] _{0} ^{3}$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{81}{4} + 54 - 45 + 3 = \mathit{-} \frac{33}{4}$