곡선 위 점 삼각형 넓이

모든 자연수 $n$에 대하여 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$의 좌표를 $( a _{n} , 0 )$이라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{OP _{\mathit{n} + 1}}} = {\overline{OP _{\mathit{n}}}} + {\overline{P _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}}}$이므로 $\displaystyle a _{n + 1} = a _{n} + {\overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}}}$ 이다. 삼각형 $\mathrm{OP} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}$과 삼각형 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}$이 닮음이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP _{\mathit{n}}}} : {\overline{P _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}}} = {\overline{P _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}}} : {\overline{P _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}}}$ 이고, 점 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$의 좌표는 $\displaystyle ( a _{n} , \sqrt{3 a _{n}} )$이므로 $\displaystyle a _{n} : \sqrt{3 a _{n}} = \sqrt{3 a _{n}} : \overline{{\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{P}} _{n+1}}$ $\displaystyle a _{n} \times \overline{{\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{P}} _{n+1}} = 3 a _{n}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}}} = \square {3}$ 이다. 이때, 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $1$이고 공차가 $3$인 등차수열이므로 $a _{n} = 1 + ( n - 1 ) \times 3 = 3 n - 2$ 따라서 삼각형 $\mathrm{OP} _{\mathit{n} + 1} Q _{\mathit{n}}$의 넓이 $A _{n}$은 $\displaystyle A _{n} = \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{OP}} _{n+1}} \times \overline{{\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{Q}} _{n}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times a _{n+1} \times \sqrt{3 a _{n}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \square {3 n + 1} \right) \times \sqrt{9 n - 6}$ 이다. 따라서, $p = 3$, $f ( n ) = 3 n + 1$이므로 $p + f ( 8 ) = 3 + 25 = 28$