기운 막대의 그림자

(ⅰ) 막대의 그림자가 수평면에만 생기는 경우 $\displaystyle \left( 0 \leq x < \frac{\pi}{6} \right)$ 그림과 같이 막대의 한끝을 B, 그림자의 끝을 C라 하자.

$\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \frac{\mathrm{\overline{AC}}}{2}$ 에서 그림자의 길이는$\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$이다. ∴ $\displaystyle f ( x ) = \mathrm{\overline{AC}}$ $\displaystyle = 2 \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right)$ $= 2 \sin x$ (ⅱ) 막대의 그림자가 수평면과 경사면에 생기는 경우 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{6} \leq x < \frac{\pi}{2} \right)$

그림과 같이 점 $B _{1} , B _{2} , P _{1}$을 놓으면 $\triangle P _{1} AP$에서 $\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \frac{\mathrm{1}}{\overline{P _{1} A}}$ 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} A}} = \frac{1}{\cos \mathit{\left( \frac{\pi}{2} - x \right)}}$ $\displaystyle = \frac{1}{\sin x}$ $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{P _{1} B}} = 2 - \frac{\mathit{1}}{\sin x}$ $\triangle BB _{1} P _{1}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} B _{1}}} = \left( 2 - \frac{\mathit{1}}{\sin x} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right)$ $\displaystyle = \left( 2 - \frac{1}{\sin x} \right) \sin x$$= 2 \sin x - 1$ ∴ $\displaystyle f ( x ) = \mathrm{\overline{AP}} + \overline{PC} = 1 + 2 \overline{PB _{2}}$ $\displaystyle = 1 + 2 \mathrm{\overline{P _{1} B _{1}}} ( \because \overline{PB} _{2} = \overline{P _{1} B _{1}} )$ $= 1 + 2 ( 2 \sin x - 1 ) = 4 \sin x - 1$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle f ( x ) = \left\{ \genfrac{}{}{0pt}{}{2 \sin x {\left( 0 \leq x < \frac{\pi}{6} \right)}}{4 \sin x - 1 \left( \frac{\pi}{6} \leq x < \frac{\pi}{2} \right)} \right.$ 이므로 $f ( x )$의 그래프의 개형은 아래 그림과 같다.