극한 조건으로 최고차항을 결정해 넓이 구하기

$f \left( x \right)$의 최고차항을 $ax ^{n}$ ($a > 0$, $n$은 자연수)라 하면 $f \left( x \right)$의 한 부정적분인 $F \left( x \right)$의 최고차항은 $\displaystyle \frac{a}{n + 1} x ^{n + 1}$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{\left\{ F \left( x \right) - x ^{2} \right\} \left\{ f \left( x \right) - 2 x \right\}}{x ^{5}} = 3$이므로 (ⅰ) $n = 1$일 때 다항식 $\left\{ F \left( x \right) - x ^{2} \right\} \left\{ f \left( x \right) - 2 x \right\}$의 차수는 $3$이하이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{\left\{ F \left( x \right) - x ^{2} \right\} \left\{ f \left( x \right) - 2 x \right\}}{x ^{5}}$$= 0$에서 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $n = 2$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{\left\{ F \left( x \right) - x ^{2} \right\} \left\{ f \left( x \right) - 2 x \right\}}{x ^{5}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{\frac{a}{3} x ^{3} \times ax ^{2}}{x ^{5}}$$\displaystyle = \frac{a ^{2}}{3}$ 이므로 $\displaystyle \frac{a ^{2}}{3} = 3$에서 $a ^{2} = 9$, $a = 3$ (ⅲ) $n \geq 3$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{\left\{ F \left( x \right) - x ^{2} \right\} \left\{ f \left( x \right) - 2 x \right\}}{x ^{5}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{a}{n + 1} x ^{n + 1} \times ax ^{n}}{x ^{5}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{a ^{2}}{n + 1} x ^{2 n + 1}}{x ^{5}}$$= \infty$ 이므로 조건을 만족시키지 않는다. 이상에서 $f \left( x \right) = 3 x ^{2} + kx + m$ ($k$, $m$은 상수)이고 $\displaystyle F \left( x \right) = x ^{3} + \frac{k}{2} x ^{2} + mx + C$ ($C$는 적분상수)이다. 조건 (나)에서 $x \rightarrow 0$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \left\{ f \left( x \right) - 2 \right\} = 0$에서 $f \left( 0 \right) = 2$ $f \left( x \right) = 3 x ^{2} + kx + 2$에서 $f' \left( x \right) = 6 x + k$이고 $\displaystyle f' \left( 0 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f \left( x \right) - 2}{x}$이므로 $f' \left( 0 \right) = 2$에서 $k = 2$ $f \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 x + 2$, $F \left( x \right) = x ^{3} + x ^{2} + 2 x + C$이므로 $f \left( 0 \right) F \left( 0 \right) = 4$에서 $C = 2$ $g \left( x \right) = F \left( x \right) - f \left( x \right)$라 하면 $g \left( x \right)$$= x ^{3} - 2 x ^{2}$ $g' \left( x \right)$$= 3 x ^{2} - 4 x$ $g' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \frac{4}{3}$ 함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

즉 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 0$에서 극대이고 $\displaystyle x = \frac{4}{3}$에서 극소이다. $g \left( x \right) = 0$에서 $x ^{2} \left( x - 2 \right) = 0$이므로 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 따라서 곡선 $y = g \left( x \right)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} {\left| x ^{3} - 2 x ^{2} \right|} dx$ $\displaystyle = - \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} x ^{4} - \frac{2}{3} x ^{3} \end{array} \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = - \left( \frac{1}{4} \times 2 ^{4} - \frac{2}{3} \times 2 ^{3} \right)$ $\displaystyle = \frac{4}{3}$