극한 조건을 만족하는 삼차함수의 모든 근의 합

삼차함수 $f ( x )$는 주어진 조건으로부터 $f ( 1 ) = f ( 2 ) = 0$ 을 만족한다. $f ( x ) = a ( x - b ) ( x - 1 ) ( x - 2 )$로 가정하면 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{f ( x )}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{a ( x - b ) ( x - 1 ) ( x - 2 )}{x - 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {a ( x - b ) ( x - 2 )}$ $= a \cdot ( 1 - b ) \cdot ( - 1 )$ $= a ( b - 1 )$ $= 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 2} \frac{f ( x )}{x - 2} = \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{a ( x - b ) ( x - 1 ) ( x - 2 )}{x - 2}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2} {a ( x - b ) ( x - 1 )}$ $= a \cdot ( 2 - b ) \cdot 1$ $= a ( 2 - b )$ $= 2$ $a , b$에 관한 연립방정식을 풀면 $\displaystyle a = 3 , b = \frac{4}{3}$이다. 따라서, $\displaystyle f ( x ) = 3 ( x - 1 ) ( x - 2 ) \left( x - \frac{4}{3} \right) = 0$ 의 근의 합은 $\displaystyle 1 + 2 + \frac{4}{3} = \frac{13}{3}$