극값이 없는 부정적분과 f(1)의 최솟값

$F ( x )$가 $f ( x )$의 한 부정적분이므로 $f ( x ) = F' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$ 삼차함수 $F ( x )$가 극값을 갖지 않으므로 모든 실수 $x$에 대하여 $F' ( x ) = f ( x ) \geq 0$ 이차방정식 $3 x ^{2} + 2 ax + b = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} - 3 b \leq 0$, 즉 $\displaystyle b \geq \frac{a ^{2}}{3}$ $\displaystyle f ( 1 ) = 3 + 2 a + b \geq 3 + 2 a + \frac{a ^{2}}{3} = \frac{( a + 3 ) ^{2}}{3} \geq 0$ 등호는 $a = - 3$, $b = 3$일 때 성립한다. 따라서 $f ( 1 )$의 최솟값은 $0$ ③