미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

극값 조건과 근과 계수의 관계

문제

삼차함수 f(x)=ax3+bx2+2x−3f ( x ) = a x ^{3} + b x ^{2} + 2 x - 3이 x=tan⁡θx = \tan \theta와 x=cot⁡θx = \cot \theta에서 극값을 가질 수 있게 하는 양의 정수 bb의 값 중 최소인 것은? ①22②33③44④55⑤66

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②

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해설

주어진 조건에 의하여 f′(x)=0f' ( x ) = 0의 두 근은 tan⁡θ,cot⁡θ\tan \theta , \cot \theta이다. f′(x)=3ax2+2bx+2=0f' ( x ) = 3 ax ^{2} + 2 bx + 2 = 0 이므로 근과 계수와의 관계에 의해 tan⁡θ⋅cot⁡θ=1=23a\displaystyle \tan \theta \cdot \cot \theta = 1 = \frac{2}{3 a}, ∴a=23\displaystyle \therefore a = \frac{2}{3} D4=b2−6a=b2−4=(b+2)(b−2)>0\displaystyle \frac{D}{4} = b ^{2} - 6 a = b ^{2} - 4 = ( b + 2 ) ( b - 2 ) > 0 ∴b>2,b<−2\therefore b > 2 , b < - 2 따라서, 양의 정수 bb의 최솟값은 33

태그

#극값#근과 계수의 관계#판별식

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