거리의 합의 최솟값이 자연수가 되는 조건

최솟값을 $a$ 에 대한 식으로 나타낸 뒤, 그 값이 자연수라는 조건을 제곱의 차의 인수분해로 푼다. 점 $\mathrm{A}$ 를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$ 이라 하면 $\mathrm{A}' ( 1 , - 3 )$ $a > 0$ 이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 는 $x$축에 대하여 같은 쪽에 있고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} + \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{PB}} \geq \overline{\mathrm{A}' B}$ 등호는 점 $\mathrm{P}$ 가 선분 $\mathrm{A}' B$ 와 $x$축의 교점일 때 성립하므로 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 6 - 1 ) ^{2} + ( a + 3 ) ^{2}} = \sqrt{25 + ( a + 3 ) ^{2}}$ 이 값이 자연수 $n$ 이라 하면 $n ^{2} = 25 + ( a + 3 ) ^{2}$ 에서 $n ^{2} - ( a + 3 ) ^{2} = 25$, 즉 $( n - a - 3 ) ( n + a + 3 ) = 25$ $n + a + 3$ 은 $5$ 이상의 자연수이고 두 수의 곱이 $25$ 이므로 $n - a - 3$ 도 자연수이며 $n - a - 3 < n + a + 3$ 이다. 따라서 $n - a - 3 = 1$, $n + a + 3 = 25$ 에서 $n = 13$, $a + 3 = 12$ 즉 $a = 9$ 이고, 이때 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{25 + 144} = 13$ 으로 자연수이다. 따라서 $a = 9$