거듭제곱 합의 배수 증명

[출제의도] 인수분해를 이용하여 배수 증명하기 $x ^{2n+1} + y ^{2n+1}$ $= ($$)$$( x ^{2n} - x ^{2n-1} y + x ^{2n-2} y ^{2} - \cdots - xy ^{2n-1} + y ^{2n} )$ 이므로 $x ^{2n+1} + y ^{2n+1}$은 의 배수이다. 이를 이용하면 $2 ( 1 ^{11} + 2 ^{11} + 3 ^{11} + \cdots + n ^{11} )$ $= ( 1 ^{11} + n ^{11} ) + \left\{ 2 ^{11} + ( n - 1 ) ^{11} \right\}$$+ \left\{ 3 ^{n} + ( n - 2 ) ^{11} \right\} +$$\cdots + ( n ^{11} + 1 ^{11} )$ 이므로 $2 ( 1 ^{11} + 2 ^{11} + 3 ^{11} + \cdots + n ^{11} )$은 의 배수이다. 또한 $2 ( 1 ^{11} + 2 ^{11} + 3 ^{11} + \cdots + n ^{11} )$ $= \left\{ 1 ^{11} + ( n - 1 ) ^{11} \right\}$$+ \left\{ 2 ^{11} + ( n - 2 ) ^{11} \right\}$$+ \left\{ 3 ^{11} + ( n - 3 ) ^{11} \right\}$ $+ \cdots + \left\{ ( n - 1 ) ^{11} + 1 ^{11} \right\}$$+ 2 n ^{11}$이므로 $2 ( 1 ^{11} + 2 ^{11} + 3 ^{11} + \cdots + n ^{11} )$은 의 배수이다. 따라서 $2 ( 1 ^{11} + 2 ^{11} + 3 ^{11} + \cdots + n ^{11} )$은 $n ( n + 1 )$로 나누어 떨어진다.