공통수학1여러 가지 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

개미 페로몬

문제

개미집에서 먹이발견장소까지의 길은 경로Ⅰ, 경로Ⅱ 두 가지가 있다. 개미들은 개미집에서 먹이발견장소까지 갔다 오면서 갈 때와 올 때 각각 한 번씩 서로 다른 지점에 일정한 양의 페로몬이라는 분비물을 방사한다. 다음은 $A$ , $B$ , $C$ 세 종류의 개미 한 마리가 $1$ 분 동안 개미집에서 먹이발견장소까지 갔다 오는 횟수와 규칙을 나타낸 것이다.

개미의 종류	횟수	규 칙
$A$	$3$	두 번은 경로Ⅰ로 왕복 한 번은 갈 때와 올 때의 경로가 다름
$B$	$1$	경로Ⅰ로 왕복
$C$	$1$	갈 때와 올 때의 경로가 다름

$A$ 종류의 개미 $x$ 마리, $B$ 종류의 개미 $y$ 마리, $C$ 종류의 개미 $z$ 마리가 각각 위와 같은 규칙으로 $1$ 분 동안 이동한 결과 경로Ⅰ에 분비물이 총 $20$ 번 방사되었을 때, 순서쌍 $( x , y , z )$ 의 개수를 구하시오. (단, $x , y , z$ 는 자연수) [4점]

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해설

[출제의도] 경우의 수 구하기 $A$ 종류의 개미는 경로Ⅰ에 $5$ 번, $B$ 종류의 개미는 $2$ 번, $C$ 종류의 개미는 $1$ 번 분비물을 방사한다. 따라서 경로Ⅰ에 분비물이 $20$ 번 방사되었다는 것은 경로Ⅰ을 지나간 $A$ 종류의 개미들의 마리수 $x$ 를 기준으로 다음과 같이 나눌 수 있다. (ⅰ) $x = 3$ 인 경우 : $2$ 가지 $( 3 , 2 , 1 ) , ( 3 , 1 , 3 )$ (ⅱ) $x = 2$ 인 경우 : $4$ 가지 $( 2 , 4 , 2 ) , ( 2 , 3 , 4 ) , ( 2 , 2 , 6 ) , ( 2 , 1 , 8 )$ (ⅲ) $x = 1$ 인 경우 : $7$ 가지 $( 1 , 7 , 1 ) , ( 1 , 6 , 3 ) , ( 1 , 5 , 5 ) , \cdots , ( 1 , 1 , 13 )$ ∴ $2 + 4 + 7 = 13$ (가지)

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